累乗根

累乗根

平方根は二乗したらある値になる数でした。

では、3乗したらある値になる数もあってもいいのでは、と考えたのが累乗根です。

ここでは累乗根の定義と性質、計算方法について解説します。

累乗根とは

では、累乗根の定義から紹介します。

累乗根

n乗するとaになる数を

  1.  \sqrt[n]{a}=aの実数のn乗根のうち正のもの(a>0)
  2.  \sqrt[n]{a}=0(a=0)
  3.  \sqrt[n]{a}=aの実数のn乗根(a<0)※nが奇数のときのみ存在し負の値をとる

とかきan乗根と呼ぶ。ここで、nは自然数である。

-8の3乗根は、-2の3乗が-8なので

 \sqrt[3]{-8}=-2

となります。

累乗根に関しても平方根と同様にいくつか公式があります。

しかし、いかに述べるように累乗根を指数表示すれば、指数で計算を進めることができるのでここでは省略します。

累乗根の指数表示

 累乗根は指数を使って表すことができます。

累乗根の指数表記と有理数の指数

累乗根は

 \sqrt[n]{a}=a^{1/n}

のように指数で表記できる。また、有理数の指数は

 a^{m/n}=(\sqrt[n]{a})^{m}

と定義する。ここで、mは整数である。

以上のことから

  1. 累乗根を指数へ変換する
  2.  指数で計算する

というようにすれば計算を簡単にすすめることができます。

もちろん、指数法則も使用できます。

以下の計算をせよ。

 \sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{81}

 \sqrt[3]{81}=81^{1/3}=3^{4/3}=3\times 3^{1/3}

なので、

 \sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{81}\\=3^{1/3}+3\times 3^{1/3}\\=4\cdot 3^{1/3}\\=4\sqrt[3]{3}

となります。

  • 累乗根とはn乗したらaとなるような数である
  • 累乗根の計算は、指数へ変換してから指数法則を使えばOK

著者:安井 真人(やすい まさと)