文字式

文字式

 「怪盗Xは今朝10時すぎに銀行へ押し入り、リンゴ3個を奪って逃走中…。」

といったように怪盗Xのように文字で置くことが日常的によくあります。このXと同じで数学でもよく数字を文字で置きます。ここでは、数字を文字で置くことの便利さについて解説します。

怪盗Xとリンゴ

文字式は便利

数字をとりあえず文字で置いておくと便利です。例えば、

x円のリンゴをy個買ったらz円になりました」

リンゴを買ったらいくら?

といった感じになります。このように文字で置くことで先ほどの文章を

 x\times y=z

と簡潔にまとめることができます。この式に

 x=100,y=10

100円のリンゴを10個買ったら1000円だ

としてやれば

 z=x\times y=100\times 10=1000

と1000円になることがわかります。これらのことからわかると思いますが、文字で置くと

  1. 問題を整理できる
  2. 無駄な計算をしないで済む

という利点が生じます。先ほどの例のように文字で数字を置くことで、式で簡単に表現できました。また、式を変形することで複雑な問題も簡単にまとめることができます。とても便利な文字式なのでしっかりマスターしましょう。

「×」の省略

はじめに省略に関するルールを説明します。

「☓」の省略

文字式における掛け算は

 x\times y=xy

\timesを省略して表記する。

このように省略することで式が簡単になってみやすいです。例えば

 x\times y+a\times b

とかくより

 xy+ab

と書いた方が見やすいですよね。足し算より掛け算を優先して計算するので、x,yがくっついてくれた方がいいのです。文字式に慣れていけば、省略した方が便利なことがわかるかとおもいます。

 文字式にかかわる用語

 とくに覚える必要はないのですが、文字式にはいくつか用語があります。こんな用語があったなあ、くらいでいいので目を通しておいてください。

単項式と多項式

単項式と多項式

2a^{2}bのように数や文字だけの積の形で表された式を単項式(たんこうしき)という。また、

 a^{2}+2ab-c

のように単項式の和で表される式を多項式(たこうしき)という。多項式の各単項式を項(こう)という。

定義中の多項式

 a^{2}+2ab-c

では、単項式a^{2},2ab,-cがそれぞれ項となります。

以上の定義から、単項式は、項が一つの多項式ということもできますね。

 同類項

次の用語である同類項の定義は以下のようになります。

同類項

文字の部分が同じである項を同類項(どうるいこう)という。

多項式:a^{2}+ab-2a^{2}+c

の項の中で、a^{2},-2a^{2}が同類項となります。

同類項は一つの項にまとめることができます。たとえば、さきほどの多項式は

 -a^{2}+ab+c

となります。

単項式での係数と次数

以下、単項式に関する用語です。

単項式における係数と次数

単項式-3aの-3のように、数字の部分を係数(けいすう)という。

また、掛け合わせた文字の個数を次数(じすう)という。

a^{2}bcなら、次数は2+1+1=4となります。

一方、係数は1です。

多項式での係数と次数

多項式においても係数と次数が存在します。以下が定義です。

多項式における係数と次数

同類項をまとめて整理した多項式において、各項の次数の中で最大の次数を、その多項式の次数という。また、次数がnの多項式をn次式といい、次数が0の項を定数項(ていすうこう)といいます。

例えば、多項式

 a^{2}+abc-a^{2}+1

の場合の次数は、同類項をまとめると

 abc+1

であり、各項のうち最大次数のものはabcの3なので、この多項式の次数は3となります。

また、定数項を1となります。

 お疲れ様でした。以上で用語の解説を終わります。たくさんありますが徐々に使いながら慣れていくといいでしょう。

  • 文字式は問題を記述したり整理するのに役立つ
  • 文字式では「☓」は省略する
  • 「+」があれば多項式、なければ単項式
  • 同類項はまとめて整理することができる

 

著者:安井 真人(やすい まさと)