因数分解

因数分解

前回、展開について学びました。 展開は括弧をはずす作業でしたが、今回は括弧をつける作業をします。

この作業は二次方程式を解く際などに使うので、しっかり身につけましょう。

因数分解とは

では、因数分解の定義について解説します。

因数分解

因数分解(いんすうぶんかい)とは、多項式を一次以上の多項式の積の形に変形することをいう。

積をつくっている各式を因数(いんすう)という。

 x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2)

のような操作が因数分解です。そして、x+1,x+2が因数になります。

習うより慣れろというので、実際に問題を解いていきましょう。

次の式を因数分解せよ。

 x^{2}-5x+6

まず、はじめにすることはx^{2}が最高の次数なので

 (x\ \ \ \ )(x\ \ \ )

ときまります。次に最低字数が6と正なので

 (x+\ \ )(x+\ \ )

 (x-\ \ )(x-\ \ )

のどちらかになるはずです。 -5xとあるので

 (x-\ \ )(x-\ \ )

ときまります。最後に

 6=1\times 6より1+6=7

 6=2\times 3より2+3=5

となり、後者が-5xの5と一致するので x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)   が答えとなります。

実際に展開してみると

 (x-2)(x-3)=(x-2)x+(x-2)(-3)=x^{2}-2x-3x+6=x^{2}-5x+6

となり、一致しますね。

では、もう一問といてみましょう。

次の式を因数分解せよ。

 2x^{2}-3x -2

まず、2x^{2}とあるので

 (2x \ \ \ )(x \ \ \ )

が決まります。次に-2とあるので

 (2x+ \ )(x- \ )

 (2x- \ )(x+ \ )

のどちらかになります。 2=1\times 2 なので、答えは

 (2x+1)(x -2),(2x+2)(x -1),(2x -1)(x+2),(2x -2)(x+1)

のどれかになります。すべて展開してみると

 (2x+1)(x -2)=2x^{2}-3x -2\\ (2x+2)(x -1)=2x^{2}-2\\ (2x -1)(x+2)=2x^{2}+3x -2\\ (2x -2)(x+1)=2x^{2}-2

となるので、

 2x^{2}-3x -2=(2x+1)(x -2)

が答えとなります。

今回のような二次式の因数分解は「最高次数の数字(前の問題の場合2x^{2})」や「最低字数の数字(前の問題の場合-2)」が

 36=2^{2}\times 3^{2}

のように素因数分解した際の数字の数が多いほど面倒になります。

 

もしテストで、

 48x^{2}+101x -72

のように

 48=2^{4}\times 3\\ 72=2^{3}\times 3^{2}

と因数が大きい鬼畜な問題は時間がかかるので、後回しにした方がよいでしょう。

 因数分解の公式

以上で述べた方法でやれば大丈夫ですが、因数分解の公式ものせておきます。

といっても展開の逆ですが

因数分解の公式

  1. a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}
  2. a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)
  3. x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
  4. a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})
  5. a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}
  6. acx^{2}+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)

 

展開と同じで、因数分解でも問題を多く解くことが大事です。

ということで以下の問題を解いていきましょう。

以下の式を因数分解せよ。

  1. 3xy^{2}z(x+y)(x-y)=3xy^{2}z(x^{2}-y^{2})=3x^{3}y^{2}z-3xy^{4}z
  2. x^{2}+6x+9
  3. x^{2}+3x+2
  4. 6x^{2}+7x+2
  5. x^{3}+9x^{2}+27x+27
  6. x^{3}+2x^{2}-5x -6

(1)

 3x^{3}y^{2}z-3xy^{4}z\\=3xy^{2}z(x^{2}-y^{2})\\=3xy^{2}z(x+y)(x-y)

(2)

 x^{2}+6x+9

この問題ではとりあえず、

 (x+\ )(x+\ )

ときまります。あとは9とあるので、「1,9」「3,3」のどちらかだとわかります。これらをたしたら6になるはずなので

 (x+3)(x+3)=(x+3)^{2}

がこたえになります。

(3)

 x^{2}+3x+2

これも

 (x+\ )(x+\ )

だろうと予測がつきます。そして2から「1,2」が候補になり和も3なので

 (x+1)(x+2)

となります。

(4)

 6x^{2}+7x+2=(2x+1)(3x+2)

この場合は

 (x+\ )(6x+\ ),\\(2x+\ )(3x+\ )

のどちらかだとわかります。さらに2なので

 (x+1)(6x+2),\\(x+2)(6x+1),\\(2x+1)(3x+2),\\(2x+2)(3x+1)

のどれかが解となるはずです。これらを展開して確認すると

 (2x+1)(3x+2)

がこたえになります。

(5)

 x^{3}+9x^{2}+27x+27

3次式になるとわけがわかりませんね。でも因数分解すれば

 (x\ )(x\ )(x\ )

になるはずです。また、仮に(x+1)のような部分があれば、-1を代入すれば0になります。

よって、

 x^{3}+9x^{2}+27x+27

に代入して0になる数を探せばいいということになりますね。

で、\pm 1\pm 2\cdotsと代入すると-3で0になることがわかります。よって

 x^{3}+9x^{2}+27x+27=(x+3)(x^{2}+ax+9)

だとわかります。右辺を展開して見比べればa=6だとわかるので

 x^{3}+9x^{2}+27x+27=(x+3)(x^{2}+6x+9)=(x+3)^{3}

になります。

(6)

 x^{3}+2x^{2}-5x -6=(x^{2}-x -2)(x+3)=(x -2)(x+1)(x+3)

これも難しそうなので、x\pm1,\pm2,\cdotsと代入していき0になるのを見つけます。

すると、x=-1で0になります。よって

 x^{3}+2x^{2}-5x -6=(x+1)(x^{2}+ax -6)

となります。右辺と左辺を比べればa=1だとわかり、

 x^{3}+2x^{2}-5x -6=(x+1)(x^{2}+x -6)=(x+1)(x+3)(x -2)

がこたえとなります。

  • 因数分解とは、一次以上の多項式の積の形に変形すること
  • 因数分解は、多く問題を解いてなれることが大事

著者:安井 真人(やすい まさと)