解と係数の関係

2次方程式の解と係数の関係

 2次方程式の係数と解にはある簡単な関係があります。この関係性を使うことで、楽にとける問題があります。ここでは、これらの2次方程式の係数と解の関係性について解説します。

2次方程式の解と係数の関係

2次方程式の係数と解には以下の様な関係が成り立ちます。

係数と解の関係

2次方程式

 ax^{2}+bx+c=0,\ a\neq0

において以下の関係式が成り立つ。

 \displaystyle\alpha+\beta=-\frac{b}{a},\\\alpha\beta=\frac{c}{a}

 ではこの関係性を証明するために、2次方程式の解と係数との関係について考えます。まず、二次方程式

 ax^{2}+bx+c=0,\ a\neq0

があり、解が\alpha,\betaとします。すると

 ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)=ax^{2}-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta

となるので、

 \displaystyle\alpha+\beta=-\frac{b}{a},\\\alpha\beta=\frac{c}{a}

となります。

この関係を覚える必要はありませんが、導出できるようにしておきましょう。

二次方程式x^{2}-2x+5=0の解を\alpha,\betaとしたとき、

 \alpha^{3}+\beta^{3}

を求めよ。

解と係数の関係より、

 x^{2}-2x+5=(x-\alpha)(x-\beta)=x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta

となり、

 \alpha+\beta=2,\\\alpha\beta=5

が得られます。あとは、\alpha^{3}+\beta^{3}\alpha+\beta,\alpha\betaで記述します。三乗があるので、

 (\alpha+\beta)^{3}=\alpha^{3}+3\alpha^{2}\beta+3\alpha\beta^{2}+\beta^{3}

を利用すればよさそうです。さらに変形すれば

 \alpha^{3}+\beta^{3}=(\alpha+\beta)^{3}-3\alpha\beta(\alpha+\beta)

となるので、

 \alpha^{3}+\beta^{3}=2^{3}-3\cdot 5\cdot 2=8-30=-22

となります。

著者:安井 真人(やすい まさと)