複素数の極形式

複素数の極形式

 座標には直角座標の他に、極座標がありました。これと同様に複素数も極座標のような方法で記述できます。それが極形式です。ここでは、複素数の極形式表示について解説します。

複素数の極形式

 平面上の点は原点からの距離rとx座標との角度\thetaにより

 (r\cos\theta,r\sin\theta)

と表示できます。複素数においても、任意の複素数を

 z=r(\cos\theta+i\sin\theta)

で表現できます。これが極形式です。定義を以下にまとめます。

極形式

任意の複素数は

 z=r(\cos\theta+i\sin\theta)

により記述できる。ここで、r\geq 0,0\leq\theta<2\piである。これを複素数の極形式と呼び、\theta偏角といい

 \theta=\arg z

と記述する。

例えば、

 z=1+i

なら、

 r=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}

となり

 \displaystyle\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}},\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}

なので

 \theta=45^{\circ}

となります。よって

 z=\sqrt{2}(\cos 45^{\circ}+i\sin 45^{\circ})

が極形式となります。

極形式での乗法と除法

極形式では乗法と除法に対して以下の公式が成り立ちます。

極形式の乗法と除法

z_{1}=r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}),z_{2}=r_{2}(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2})のとき

【乗法】

 z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2}))

 |z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|

 \arg(z_{1}z_{2})=\arg z_{1}+\arg z_{2}

【除法】

 \displaystyle\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}(\cos(\theta_{1}-\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}-\theta_{2}))

 \displaystyle\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}

 \displaystyle\arg\frac{z_{1}}{z_{2}}=\arg z_{1}-\arg z_{2}

が成り立つ。

まず、

 z_{1}=r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1}),\\z_{2}=r_{2}(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2})

とします。すると、加法定理を使って

 z_{1}z_{2}=r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1})r_{2}(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2})\\=r_{1}r_{2}(\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}-\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}+i(\sin\theta_{1}\cos\theta_{2}+\cos\theta_{1}\sin\theta_{2}))\\=r_{1}r_{2}(\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2}))

となります。よって、

 |z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|

 \arg(z_{1}z_{2})=\arg z_{1}+\arg z_{2}

が得られます。

除法に関しても加法定理を使い

 \displaystyle\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1})}{r_{2}(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2})}\\=\frac{r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1})(\cos\theta_{2}-i\sin\theta_{2})}{r_{2}}\\=\frac{r_{1}(\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}+\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}+i(\sin\theta_{1}\cos\theta_{2}-\cos\theta_{1}\sin\theta_{2}))}{r_{2}}\\=\frac{r_{1}}{r_{2}}(\cos(\theta_{1}-\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}-\theta_{2}))

より

 \displaystyle\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}

 \displaystyle\arg\frac{z_{1}}{z_{2}}=\arg z_{1}-\arg z_{2}

が得られます。

複素数の乗法と回転

先ほどの公式

 z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2}))

からわかるように

 r(\cos\theta+i\sin\theta)

をかけることは

  1. 長さ方向にr倍する
  2. \thetaだけ回転する

という操作になります。

(1,1)から原点を中心に反時計回りに30°回転させた点を求めよ。

まず、(1,1)は複素数平面で

 1+i

になります。そして、

 \displaystyle\cos 30^{\circ}+i\sin 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}

をかければ30°回転するので

 \displaystyle (1+i)(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2})\\=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+i\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)

より\displaystyle\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)が解となります。

著者:安井 真人(やすい まさと)