ド・モアブルの定理

 複素数は極座標表示にすると簡単にn乗を計算することができます。それがド・モアブルの定理という複素数における基本的な定理です。ここでは、このド・モアブルの定理について解説します。また、ド・モアブルの定理を使って1のn乗根の計算を行います。

ド・モアブルの定理とは

ド・モアブルの定理とは以下の様な定理です。

ド・モアブルの定理

nが整数のとき

 (\cos\theta +i\sin\theta)^{n}=\cos n\theta+i\sin n\theta

が成り立つ。これをド・モアブルの定理という。

複素数の積は回転なのでn乗はn回転させることになります。

よって、ド・モアブルの定理が成り立ちます。

ではド・モアブルの定理を使って1のn乗根を計算してみましょう。いま、1のn乗根を

 z=r(\cos\theta +i\sin\theta)

とします。ここで、rはゼロ以上の実数で、\theta0\leq\theta<2\piです。すると

 z^{n}=1

でありrはゼロ以上より

 r^{n}=1\\\Leftrightarrow r=1

となります。よって

 (\cos\theta +i\sin\theta)^{n}\\=\cos n\theta +i\sin n\theta=1

が得られます。ゆえに

 \displaystyle n\theta=2\pi m\\\Leftrightarrow \theta=\frac{2\pi m}{n},(m\in\mathbb{Z})

となります。ここで、

 0\leq\theta<2\pi

なので

 \displaystyle\theta=\frac{2\pi m}{n},(m=0,1,2,\cdots,n-1)

が解となります。

著者:安井 真人(やすい まさと)