複素数

複素数

 実数は二乗するとかならずゼロより大きい数になります。では、二乗したら負になる数はあるでしょうか?じつは二乗したら負になる数は定義できます。そのため、実数を拡張して二乗したら負になる数も含めることができます。この拡張した数を複素数と呼びます。ここでは、複素数の定義と複素数の相等について学びます。

虚数単位とは

 二乗して負になる数について考察します。まず、次の方程式を考えてみましょう。

 x^{2}=1

この方程式はx=\pm 1とすぐに解けると思います。では

 x^{2}=-1

はどうでしょうか?二乗して1になるような実数はないので解はないと考えるべきですね。しかし、仮に二乗したら-1になる数があったとして以下のように定義します。

虚数単位

 i^{2}=-1

を満たす数をiとし虚数単位と呼ぶ。

この虚数単位より、

 x^{2}=-1

の解は

 x=\pm i

となります。

 複素数とは

では、いよいよ複素数について定義します。

複素数

複素数とは実数a,bを使って

 a+bi

のかたちで書くことができる数の集合である。a実部(じつぶ)b虚部(きょぶ)と呼ぶ。また、b\neq 0のとき複素数a+bi虚数(きょすう)と呼び、bi,b\neq 0純虚数(じゅんきょすう)と呼ぶ。

複素数の例としては

 1+i,2i,2

があります。そして、2iが純虚数となります。

複素数が等しいとは

実数に等しいという概念があるように、複素数にも等しいが存在ます。例えば、

 1+i=1+i

ですし、

 (1-1)+2i=2i

となります。等しいことの定義は以下のようになります。

複素数の相等

2つの複素数

 c_{1}=a_{1}+b_{1}i,

 c_{2}=a_{2}+b_{2}i

が等しいことを

 c_{1}=c_{2}\Leftrightarrow a_{1}=a_{2},b_{1}=b_{2}

と定義する。

複素数の集合は

 \mathbb{C}

によりあらわします。これはComplex numberの頭文字をとったものです。

  • 二乗して-1になる数が虚数単位である
  • 虚数単位iと実数a,bにより作られるa+ibの集合が複素数

著者:安井 真人(やすい まさと)