複素数の四則演算

複素数の演算

 複素数は実数を拡張したものなので当然のように四則演算が定義できます。ここでは複素数の足し算、引き算、掛け算、割り算について学びます。そして、実際に複素数の四則演算をして計算できるようにしていきます。

複素数の四則演算

ここで二つの複素数を

 c_{1}=a_{1}+b_{1}i,c_{2}=a_{2}+b_{2}

とします。

足し算と引き算

 そして、足し算と引き算に関しては以下のように定義します。

複素数の足し算と引き算

 (a_{1}+b_{1}i)+(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i

 (a_{1}+b_{1}i)-(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})i

 (1+i)+(2-i)\\=(1+2)+(1-1)i\\=3,\\(1+i)-(2-i)\\=(1-2)+(1-(-1))i\\=-1+2i

例からわかるように

 (1+i)-(2-i)\\=1+i-2+i\\=-1+2i

と分配法則を用いて計算してもかまいません。

掛け算と割り算

 さて、掛け算に関しては以下のように定義します。

複素数の掛け算

 (a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)\\=a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}i^{2}+a_{1}b_{2}i+a_{2}b_{1}i\\=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+i(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})

ふつうに展開すればOKです。

 (1+i)(1+2i)\\=1+2i+i+2i^{2}\\=1+3i-2\\=-1+3i

 割り算では分母の虚数を消すことで計算します。

複素数の割り算

 \displaystyle\frac{a_{1}+b_{1}i}{a_{2}+b_{2}i}\\=\frac{(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}-b_{2}i)}{(a_{2}+b_{2}i)(a_{2}-b_{2}i)}\\=\frac{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})i}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}\\=\frac{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+i\frac{a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}

基本的に実数と同じように計算して、i^{2}が出てきたら-1に変えればOKです。

 \displaystyle\frac{2}{1+i}\\=\frac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)}\\=\frac{2-2i}{1-i^{2}}\\=\frac{2-2i}{1+1}\\=1-i

割り算の場合は公式

 (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}

を使用するのがポイントです。

では問題を解いて計算に慣れていきましょう。

次の計算をせよ。

  1. (2+i)-(3-2i)
  2. (1+\sqrt{-1})(2-2\sqrt{-2})
  3. \displaystyle\frac{1+i}{1-i}

(1)

実部と虚部を別々に計算すればOKです。

 (2+i)-(3-2i)=(2-3)+(1+2)i=-1+3i

(2)

\sqrt{-1}=iであることを使います。

 (1+i)(2-2\sqrt{2}i)=(2+2\sqrt{2})+(2-2\sqrt{2})i

(3)

分母の虚数を除きます。分母の虚数を除くには

 (a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}

を利用します。

 \displaystyle\frac{1+i}{1-i}\\=\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\\=\frac{2i}{2}=i

  • 実数の計算と同じようにして、i^{2}=-1を使う
  • 割り算では(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}を利用して分母からiを消去する

著者:安井 真人(やすい まさと)