一次方程式

1次方程式

方程式には様々な種類のものがあります。

その中でも一番簡単な方程式は1次方程式です。

ここでは、1次方程式の解き方について解説します。

 1次方程式とは

さっそくですが、一次方程式の定義から紹介します。

1次方程式

右辺を左辺へ移行してまとめた式が

 ax+b=0

となる方程式を一次方程式という。ここで、a \neq 0である。

一次方程式の例が

 2x+3-x=5-x

です。まず、左辺をまとめると

 x+3=5-x

となります。両辺に-(5-x)を足すと

 x+3-(5-x)=5-x-(5-x)

となり、まとめると

 2x-2=0

となります。最後に両辺を2で割ると

 x-1=0

が得られます。ax+b=0の形になっているので一次方程式です。

方程式の基本操作としては

1. 両辺に同じ数字を足す

2. 両辺に同じ数字を掛ける

です。この基本操作で一次方程式を解くことができます。実際に一次方程式を解くと

 \displaystyle ax+b=0 \\ \Leftrightarrow ax+b+(-b)=0+(-b)\\ \Leftrightarrow ax=-b \\ \Leftrightarrow ax\frac{1}{a}=-b\frac{1}{a}\\ \Leftrightarrow x=-\frac{b}{a}

となります。

1次方程式の解

 1次方程式ax+b=0,a\neq 0の解は

 \displaystyle x=-\frac{b}{a}

となる。

では、いくつか問題を解いていきます。

(1) 3x+2=x-1

(2) x^{2}+2x+2-(x^{2}-x)=0

まず、(1)から解いていきます。

 \displaystyle 3x+2=x-1 \\ \Leftrightarrow 3x+2-(x-1)=x-1-(x-1) \\ \Leftrightarrow 2x+3=0 \\ \Leftrightarrow 2x+3+(-3)=0+(-3) \\ \Leftrightarrow 2x=-3 \\ \Leftrightarrow 2x\frac{1}{2}=-3\frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow x=-\frac{3}{2}

実際に\displaystyle x=-\frac{3}{2}をはじめの式に代入すると

(左辺)\displaystyle = 3x+2=3\left( \frac{3}{2}\right) +2=-\frac{9}{2}+\frac{4}{2}=-\frac{5}{2}

(右辺)\displaystyle =x-1=-\frac{3}{2}-1=-\frac{5}{2}

となって、(左辺)=(右辺)となることがわかります。

 

では次に(2)を解いていきます。

 \displaystyle x^{2}+2x+2-(x^{2}-x)=0 \\ \Leftrightarrow 3x+2=0 \\ \Leftrightarrow 3x+2+(-2)=0+(-2) \\ \Leftrightarrow 3x=-2 \\ \Leftrightarrow 3x\frac{1}{3}=-2\frac{1}{3} \\ \Leftrightarrow x=-\frac{2}{3}

x^{2}が含まれていますが、式をまとめるとx^{2}が消えるので一次方程式です。

\displaystyle x=-\frac{2}{3}を代入すると左辺は0となります。確認してみてください。

  • 1次方程式とはax+b=0という形の方程式のことである
  • 両辺に同じ数を足したりかけたりして方程式は解く
  • 1次方程式の解はx=-b/aである

著者:安井 真人(やすい まさと)