二次方程式

2次方程式

前回、一次方程式を解きました。

今回は二次方程式の紹介と2次方程式の解き方を解説します。

一般的な2次方程式でなく簡単な形の2次方程式(ax2+c=0)の解き方を解説します。

2次方程式とは

2次方程式とは以下の様な定義です。

2次方程式

二次方程式は

 ax^{2}+bx+c=0

の形をした方程式である。ここで、a\neq 0である。

いきなりこの方程式を解くのは難しいので、はじめにb=0の場合、

 ax^{2}+c=0

の場合を解いていきます。

まず、

 2x^{2}-1=0

を解いていきましょう。式を整理すると

 \displaystyle x^{2}=\frac{1}{2}

となります。xは二乗すると\frac{1}{2}となる数なので、x\displaystyle\frac{1}{2}の平方根となります。よって、

 \displaystyle x=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}=\pm \left( \frac{1}{2}\right) ^{1/2}=\pm \frac{1^{1/2}}{2^{1/2}}=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}

が答えになります。

ax^{2}+c=0を解く

同様にして

 ax^{2}+c=0,a\neq 0

 \displaystyle ax^{2}+c=0 \Leftrightarrow x^{2}=-\frac{c}{a}

となり、\displaystyle -\frac{c}{a}\geqq 0なら

 \displaystyle x=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}

となります。

以下の方程式を解いてください。

  1. x^{2}-2=0
  2. 3x^{2}-4=0
  3. x^{2}+1=0

 x^{2}=2

となり、

 x=\pm\sqrt{2}

が解となります。

整理すると

 \displaystyle x^{2}=\frac{4}{3}

となり、

 \displaystyle x=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}

が解となります。

式を整理すると

 x^{2}=-1

となります。xが実数ならx^{2}\geq 0なので

 0\leq x^{2}=-1

となりますが、これは矛盾です。よって、実数解はありません。

  • 2次方程式とはax2+bx+c=0の形の方程式である
  • 特殊な2次方程式ax2+c=0の解は\displaystyle x=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}である

著者:安井 真人(やすい まさと)