二次方程式の解の公式

2次方程式の解の公式

ここでは、二次方程式

 ax^{2}+bx+c=0,a\neq 0

の解を導きます。

2次方程式の解の公式を導く

2次方程式の解は以下のようになっています。

2次方程式の解の公式

 \displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

前回

 ax^{2}+c=0・・・(1)

の解が

 \displaystyle x=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}},-\frac{c}{a}\geqq 0

となることがわかりました。よって、ax^{2}+bx+c=0を変形して

 ax^{2}+c=0

の形にすればいいことがわかります。

そこで、はじめにaを割って、

 \displaystyle x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0・・・(2)

とします。次に

 (x+A)^{2}=x^{2}+2Ax+A^{2}=0

に着目して、

 \displaystyle 2A=\frac{b}{a}

とすれば

 \displaystyle \left( x+\frac{b}{2a} \right) ^{2}=x^{2}+\frac{b}{a}x+\left( \frac{b}{2a} \right) ^{2}\\ \Leftrightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x=\left( x+\frac{b}{2a} \right) ^{2}-\left( \frac{b}{2a} \right)^{2}

となるので式(2)は

  \displaystyle \left( x+\frac{b}{2a} \right)^{2}-\left( \frac{b}{2a} \right)^{2}+\frac{c}{a}=0 \\ \Leftrightarrow \left( x+\frac{b}{2a} \right)^{2}=\left( \frac{b}{2a} \right)^{2}-\frac{c}{a}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}

となります。

これは式(1)ax^{2}+c=0と同じ形なので

  \displaystyle x+\frac{b}{2a}=\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}} \\ \Leftrightarrow x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{\sqrt{4a^{2}}}

となります。ここでa\geqq 0の場合\sqrt{4a^{2}}=2aとなり、a<0の場合は\sqrt{4a^{2}}=-2aなので

 \displaystyle x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},a\geqq 0,\\x=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{-2a}=\frac{-b\mp \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},a<0

となります。

両方とも同じ形なのでaの符号にかかわらず

 \displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

となります。これが二次方程式の解の公式です。

そこまで難しくないので、自力で2次方程式の解を導けるようにしておきましょう。

解の公式を暗記してもいいのですが、覚えるのは面倒なので、

 \displaystyle 3x^{2}-6x+2=0 \\ \Leftrightarrow x^{2}-2x+\frac{2}{3}=0 \\ \Leftrightarrow (x-1)^{2}-1+\frac{2}{3}=0 \\ \Leftrightarrow (x-1)^{2}=\frac{1}{3} \\ \Leftrightarrow x-1=\pm \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \Leftrightarrow x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3+\sqrt{3}}{3},\frac{3-\sqrt{3}}{3}

という具合に平方完成させて順に解けるようにしておきましょう。

実は、平方完成は2次関数のグラフをかくときに役立ちます。

では、いくつか問題を解いていきましょう。

以下の方程式を解け。

(1)x^{2}+5x+1=0

(2)3x^{2}+x-1=0

解の公式を使うと以下のようになります。

(1)x^{2}+5x+1=0
\displaystyle x=\frac{-5\pm\sqrt{25-4\times 1\times 1}}{2\times 1}\\=\frac{-5\pm\sqrt{21}}{2}

(2)3x^{2}+x-1=0
\displaystyle x=\frac{-1\pm\sqrt{1-4\times 3\times (-1)}}{2\times 3}\\=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{6}

  • 2次方程式ax^{2}+bx+c=0の解の公式は\displaystyle x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}である。

著者:安井 真人(やすい まさと)