二次方程式と因数分解

2次方程式と因数分解

二次方程式

 ax^{2}+bx+c=0・・・(1)

の解が解の公式より

 \displaystyle\alpha =\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},\beta =\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

だとすると

 \displaystyle\alpha +\beta =\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\\ \alpha \beta=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{(-b)^{2}-(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}=\frac{4ac}{4a^{2}}=\frac{c}{a}

となります。

 

よって式(1)は

 \displaystyle a(x-\alpha)(x-\beta)=ax^{2}-a(\alpha +\beta )x+a\alpha \beta =ax^{2}-a\frac{-b} {a}x+a\frac{c}{a}=ax^{2}+bx+c=0

 \Leftrightarrow a(x-\alpha)(x-\beta)=0・・・(2)

となります。

この式は二次方程式の解の公式を使えば

  1. ax^{2}+bx+cを因数分解して
  2. a(x-\alpha)(x-\beta)にできる

ことを示しています。

ですから

 ax^{2}+bx+c

を因数分解する問題は、まず二次方程式

 ax^{2}+bx+c=0

を解いて解\alpha,\betaを求めてから

 a(x-\alpha)(x-\beta)

と因数分解すればいいことになりますね。

試しに

 x^{2}+2x-4

を因数分解してみます。

まず、二次方程式

 x^{2}+2x-4=0

の解は

 x^{2}+2x-4 \\ \Leftrightarrow (x+1)^{2}-1-4=0 \\ \Leftrightarrow (x+1)^{2}=5 \\ \Leftrightarrow x+1=\pm \sqrt{5} \Leftrightarrow x=-1\pm \sqrt{5}

となるので、

 x^{2}+2x+4=\left( x+1-\sqrt{5} \right) \left( x+1+\sqrt{5} \right)

と因数分解できることがわかります。

著者:安井 真人(やすい まさと)