1次不等式

数や式の大小関係を表した式を不等式といいます。

ここでは、不等式の解き方について解説します。

一次不等式とは

はじめに1次不等式の定義を紹介します。

1次不等式

一次不等式とは不等号を含む式で、一次のものである。

不等号とは>,<,\geq,\leqがあり、

  • 「a>b」:aはbより大きい
  • 「a<b」:aはbより小さい
  • 「a\geqb」:aはb以上
  • 「a\leqb」:aはb以下

を意味する。

まず、不等式では

不等号:>,<,\geq,\leq

を使います。実数a,bに対して

 a<b

aのほうがbよりも大きいことを意味します。この場合は、a=bとはならないので注意しましょう。そして、

 a\leq b

とした場合は、a=bの場合も含みます。

 

不等式の性質

不等式に関する3つの性質を紹介します。これらは不等式を解く際に使用します。

不等式の性質1

a<b,b<cならばa<c

AさんはBさんよりも背が低い。

BさんはCさんよりも背が低い。

よって、AさんはCさんよりも背が低い。

ということをいっています。簡単な三段論法なので、理解できると思います。

 

不等式の性質2

a<bならばa+c<b+c

天秤でAとBの重さをはかると、Bのほうが重い。

さらに天秤の両側にCをそれぞれ置く。

当然、B+CのほうがA+Cよりも重いでしょう。

ということを述べた性質です。

 

不等式の性質3

a<b,c>0ならばac<bc

天秤でAとBの重さをはかると、Bのほうが重い。

次に、2A、2Bと量を2倍にする。

たとえ2倍にしても2Bのほうが2Aより重い。

ということを述べています。

 

c<0a<bならac>bcとなるので注意しましょう。

というのも

c<0ならばc+(-c)<0+(-c)より0<-cとなります。

よって、

 a(-c)<b(-c)

となり、

 -ac<-bc

が得られます。あとは両辺にac+bcを足して

 bc<ac

となります。

以上のように導出できるので忘れたら、この理屈で思い出しましょう。

負の数をかけたら符号が変わる

以下の一次不等式を解いてください。

  1. 2x+1<3
  2. x+1<2-x<2(x+1)
  3. |x+1|<2

 2x+1<3

まず、左辺にx、右辺に定数をまとめます。

そのため両辺に(-1)を足して

 2x<2

とします。あとは、2で割って

 x<1

となります。

 x+1<2-x

から解いていきます。両辺に(-1)を足して

 x<1-x

とします。次に両辺にxを足して

 2x<1

となり、最後に1/2をかけます。

 x<1/2

 

次に、

 2-x<2(x+1)

をときます。両辺に-2をたして

 -x<2x

となります。次に-2xを足して

 -3x<0

をえます。最後に-1/3をかけて

 x>0

となります。負の数をかけると不等号の向きが変わるので注意します。

 

以上の結果より0<x<1/2がこたえになります。

最後の問題です。

 |x+1|<2

絶対値が2より小さいということは

 -2<x+1<2

を意味するので、これをとけばOKです。

 

では

 -2<x+1

の両辺に-1を足して

 -3<x

とします。

 

次に

 x+1<2

に-1を足して

 x<1

となります。

 

以上より-3<x<1がこたえとなります。

  • 不等号には>,<,\geq,\leq[/latex]がある
  • 1次不等式とは、不等号の入った一次式のこと
  • 1次不等式では、負の数を両辺にかけると不等号の向きが変わる

著者:安井 真人(やすい まさと)