二次方程式の実数解の個数

2次方程式の実数解が何個あるかを判定する方法があります。

この判定法に使用するのが判別式です。

ここでは、判別式を使って2次方程式の実数解の個数を調べる方法を紹介します。

 

実数xは二乗すると

 x^{2}\geq 0

となります。よって、

 x^{2}=-1

のような左辺が負の方程式の場合だと

 0\leq x^{2}=-1

となるため、実数解はありません。

 

また、

 x^{2}=0

の場合は、実数解はx=0の一つとなります。

 x^{2}=1

のように、右辺が正の場合は実数解はx=\pm 1と二つになります。

 

以上のことを一般化すると二次方程式

 ax^{2}+bx+c=0,a\neq 0

は平方完成すると

 \displaystyle\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}

となります。右辺の分母は正なので、右辺の分子

 D=b^{2}-4ac

により右辺の符号がきまります。よって

  1. D>0なら実数解は2つ
  2. D=0なら実数解は1つ
  3. D<0なら実数解はなし

となります。

以下の二次方程式の実数解はいくつですか?

 x^{2}+2x+1=0

D=4-4=0なので、実数解は1つ。

実際に解くと

 (x+1)^{2}=0

なので、x=-1となります。

たしかに、実数解は1つですね。

著者:安井 真人(やすい まさと)