2次関数

2次関数

 1次関数の次に簡単な関数が2次関数です。1次関数よりは複雑ですが、1次関数とは異なる性質を学ぶのに便利です。ここでは2次関数の定義から、グラフのかき方まで解説します。

2次関数とは

では2次関数の定義から説明します。

2次関数

二次関数とは

 f(x)=ax^{2}+bx+c,a\neq 0

の形になる関数のことをいう。

aが0の場合は1次関数になります。

2次関数のグラフ

実際にグラフを見た方が二次関数の性質を理解し易いと思うので以下のプログラムを使ってみてください。

f(x)=x^{2}+x+

色々値を変えてみると、二次関数f(x)=ax^{2}+bx+cの係数a符号が正だと下に山があり、負だと上に山があることがわかります。

2次関数

2次関数

そして、値が大きいほど尖ることがわかります。また、cの値がy軸との交点であることがわかります。

2次関数のグラフのかき方

 2次関数をグラフにかく際に重要となるのは二次関数の頂点がどこであるかという点です。以下、二次関数の頂点を求める方法について解説します。

頂点の座標

まず、f(x)=ax^{2}+bx+cを変形させると

 \displaystyle f(x)=a\left( x+\frac{b}{2a} \right)^{2}-a\left( \frac{b}{2a}\right)^{2}+c\\=a\left( x+\frac{b}{2a} \right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a}+c

となることがわかります。2次関数の頂点は山の頂上か、谷の下の部分かなので、

 \displaystyle\left( x+\frac{b}{2a} \right)^{2}=0

となるxなので、

2次関数の頂点

2次関数y=ax^{2}+bx+cの頂点は

頂点:\displaystyle (x,y)=\left(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^{2}}{4a}\right)

となる

がえられます。つまり、

 f(x)=a(x-A)^{2}+B

と変形して

 (A,B)

が頂点になります。

以下の2次関数の頂点の座標を求めよ。

 y=x^{2}+4x-1

式を変形すると

 y=x^{2}+4x-1\\=(x+2)^{2}-4-1\\=(x+2)^{2}-5

となります。よって、頂点は(-2,-5)となります。

x軸との交点

また、x軸との交点が方程式ax^{2}+bx+c=0の解となります。よって、

x軸との交点

2次関数y=ax^{2}+bx+cのx軸との交点は

 \displaystyle\left(\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},0\right),\left(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},0\right)

となる。

という結論が得られます。

以下の2次関数とx軸との交点の座標を求めよ。

 y=x^{2}+2x-3

式を変形すると

 y=x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1)

よって、(-3,0),(1,0)がx軸との交点になります。

  • 2次関数とはy=ax^{2}+bx+cの形の関数である
  • 2次関数y=ax^{2}+bx+cの頂点は\displaystyle\left(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^{2}}{4a}\right)
  • 2次関数y=ax^{2}+bx+cとx軸との交点は\displaystyle\left(\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},0\right),\left(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},0\right)

著者:安井 真人(やすい まさと)