2次関数の最大値と最小値

山

 2次関数である現象が記述された際、最大値や最小値がどのような場合に実現されるのかは気になります。もしも最適値が見つかれば、その値を使用すればいいからです。そこでここでは2次関数の最大値と最小値の求め方について学びます。

関数の定義域

 2次関数の最大値と最小値を求める前に、関数の定義域について解説します。関数には必ず定義域があります。たいていの場合は実数が定義域になりますが、場合によっては指定される場合があります。たとえば

 y=x^{2}+2x+5,\ 0<x<3

というように指定されます。この場合は、xが0から3の範囲のみ関数y(x)が定義されているという意味になります。

以下の関数の最大値と最小値を求めよ。

  1. y=x^{2}+2x+5,\ 0<x<3
  2. y=-2x^{2}+x-2

解答(1)

2次関数の最大値と最小値を求めるコツは

グラフをかけば最大値と最小値はわかる

です。ということで、さっそくグラフをかいていきます。まず、式変形すると

 y=(x+1)^{2}+4

となります。よって、頂点が(-1,4)で下に凸なグラフになります。さらに定義域が0から3なので

二次曲線

とかけます。図に書いてありますが、

 f(0)=5,f(3)=9+6+5=20

です。かなりいい加減な図ですが、これだけおさえておけば最大値と最小値が一目瞭然です。グラフより

  1. 最小値:5
  2. 最大値:20

としてしまいがちですが、両端は定義域でないので、今回は最大値と最小値はないが答えとなります。もしも、定義域が0\leq x\leq 3なら、最小値が5で最大値が20となります。

解答(2)

こちらもグラフをかけばOKです。

 \displaystyle y=-2x^{2}+x-2\\=-2\left(x^{2}-\frac{1}{2}x\right)-2\\=-2\left(\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}-\frac{1}{16}\right)-2\\=-2\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}-\frac{15}{8}

なので、頂点は(1/4,-15/8)となります。グラフをかくと

最大値

となるので、最大値は-15/8で最小値はありません。

著者:安井 真人(やすい まさと)