2次関数の決定

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 2次関数はいくつかの条件により規定されます。ここでは、様々な条件が2次関数に与えられた際に、どのような2次関数になるかを求める方法を解説します。

2次関数を条件から求める

 2次関数がある条件を満たす場合、どのような形になるかを求める問題を解いていきます。まず、二次関数は

 y=ax^{2}+bx+c

と定数が3つで決まることから、条件が3つあれば決まることがわかります。例えば、

(1,2),(0,0),(-1,2)

を通る二次関数なら

 2=a+b+c\\0=c\\2=a-b+c

となるので、この連立方程式を解けば

 a=2,b=0,c=0

となります。よって、

 y=2x^{2}

が答えとなります。ただ単に条件を正しく2次関数に代入して連立方程式を解くだけです。では、問題を解いて終わります。

以下の条件を満たす二次関数を求めよ。

  1. 頂点が(0,1)で、(-1,4)を通る
  2. 軸がx=1で(0,0),(2,1)を通る

解凍(1)

頂点の指定があるので、

 y=a(x-0)^{2}+1=ax^{2}+1

となります。また、(-1,4)を通るので

 4=a+1\Rightarrow a=3

が得られます。よって

 y=3x^{2}+1

がこたえです。

解答(2)

軸がx=1なので

 y=a(x-1)^{2}+c

となります。また、(0,0),(2,1)を通るので

 0=a+c\\1=a+c

となります。これらより

 0=a+c=1

となり矛盾します。ゆえに条件を満たす二次関数はありません。

著者:安井 真人(やすい まさと)