2次関数と1次関数の交点

2次関数と1次関数の交点

2次方程式と1次関数との交点について計算します。

はじめに2次関数とx軸との交点を計算し、続いて2次関数と1次関数との交点を計算します。

2次方程式の解の公式を使うので復習しておいてください。

2次関数とx軸との交点

2次関数とx軸との交点は、

 y=ax^{2}+bx+c,\ (a\neq 0)

 y=0

より、2次方程式の解の公式より求めることで以下の定理が得られます。

2次関数とx軸の交点

 y=ax^{2}+bx+c,\ (a\neq 0)

 y=0

の交点は以下のようになる。

b^{2}-4ac>0の場合】

共有点は2つで\displaystyle \left(\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},0\right),\left(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},0\right)

b^{2}-4ac= 0の場合】

共有点は1つで\displaystyle \left(\frac{-b}{2a},0\right)

b^{2}-4ac<0の場合】

共有点はありません。

 2次関数と1次関数との交点

続いて、2次関数と1次関数との交点を計算してみましょう。

先程と同様に

 y=ax^{2}+bx+c,\ (a\neq 0)

 y=mx+n

を解いていきます。すると

 ax^{2}+bx+c=mx+n\\\Leftrightarrow ax^{2}+(b-m)x+(c-n)

なのでこれを解くことで以下の公式が導かれます。

2と1次関数の交点

2次関数y=ax^{2}+bx+c,\ (a\neq 0)

1次関数y=mx+n

 の交点はいかのとおりになる。

(b-m)^{2}-4a(c-n)>0の場合】

共有点は2つで

 \displaystyle\left(\frac{-(b-m)+\sqrt{(b-m)^{2}-4a(c-n)}}{2a},m\frac{-(b-m)+\sqrt{(b-m)^{2}-4a(c-n)}}{2a}+n\right),\\\left(\frac{-(b-m)-\sqrt{(b-m)^{2}-4a(c-n)}}{2a},m\frac{-(b-m)-\sqrt{(b-m)^{2}-4a(c-n)}}{2a}+n\right)

となる。

(b-m)^{2}-4a(c-n)=0の場合】

共有点は1つで

 \displaystyle\left(\frac{-(b-m)}{2a},-\frac{m(b-m)}{2a}+n\right)

となる。

(b-m)^{2}-4a(c-n)<0の場合】

共有点はなし。

 以上のように2つ公式を紹介しましたが、別に覚える必要はありません。

必要に応じて、2次方程式を解けばOKです。

著者:安井 真人(やすい まさと)