三角比の相互関係

 三角比sin,cos,tanについて学んできました。そして、三角比の中でもsinとcosは極座標と直交座標の変換でよく使うので大切だということも紹介しました。ドラマでもそうですが、人物が紹介されたら、次にそららの人物の関係が気になります。今回は、sin,cos,tanという3人の人物?の関係をみていきます。(いわゆる三角関係というやつです)だれとだれが恋人で、だれが片思いかについて考察していきましょう。

三角比の関係

 では、さっそく以下のような直角三角形を考えます。

三角比の定義

このとき、三角比は

 \displaystyle\sin\theta=\frac{\rm PQ}{\rm OP},\\\cos\theta=\frac{\rm OQ}{\rm OP},\\\tan\theta=\frac{\rm PQ}{\rm OQ}

でした。注意深くみていくと、これらの三角比にはの関係があるのに気が付きます。

三角比の関係

  1. \displaystyle\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
  2. \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1

ここで、注意ですが、

 \sin^{2}\theta=\sin\theta\times\sin\theta

という意味です。

 (\sin\theta)^{2}

と書いてもいいですが、慣習で三角比の二乗は\sin^{2}\thetaとかきます。cos,tanも同様です。これらの関係式は\tan,\cosがある式をすべて\sinでかきたい場合などに使用します。また、\sinから\cosを計算するのにも使用できます。

 他にも以下の様な公式がありますが、あまり使わないし①と②から導けるので覚えなくてもいいと思います。

cosとtanの関係

 \displaystyle 1+\tan^{2}\theta=\frac{1}{\cos^{2}\theta}

では上記の公式1と2を証明します。

【公式1】

定義式にしたがって書き下せばすぐにわかります。

 \displaystyle\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\displaystyle\frac{\rm PQ}{\rm OP}}{\displaystyle\frac{\rm OQ}{\rm OP}}\\=\frac{\rm PQ}{\rm OQ}\\=\tan\theta

【公式2】

これも定義にしたがってかきくだして、三平方の定理を使います。

 \displaystyle\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=\frac{\rm PQ^{2}}{\rm OP^{2}}+\frac{\rm OQ^{2}}{\rm OP^{2}}\\=\frac{\rm PQ^{2}+OQ^{2}}{\rm OP^{2}}\\=\frac{\rm OP^{2}}{\rm OP^{2}}\\=1

 \displaystyle\sin\theta=\frac{1}{4}のとき\cos\theta,\tan\thetaの値を求めてください。ただし、\thetaは鋭角とします。公式2より

 \displaystyle\cos\theta=\pm\sqrt{1-\sin^{2}\theta}\\=\pm\sqrt{1-1/16}\\=\pm\frac{\sqrt{15}}{4}

となります。角は鋭角なので\cos\theta>0なので

 \displaystyle\cos\theta=\frac{\sqrt{15}}{4}

が得られます。\tan\thetaは公式1より

 \displaystyle\tan\theta=\frac{\sqrt{15}/4}{1/4}=\sqrt{15}

となります。

 \tan^{2}\theta+\sin\theta\cos\theta

\sin\thetaのみで表してください。ただし、\thetaは鋭角とします。

 \displaystyle\tan^{2}\theta=\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}=\frac{\sin^{2}\theta}{1-\sin^{2}\theta}

 \displaystyle\cos\theta=\pm\sqrt{1-\sin^{2}\theta}

で、角が鋭角であることから\cos\theta>0より

 \displaystyle\tan^{2}\theta+\sin\theta\cos\theta=\frac{\sin^{2}\theta}{1-\sin^{2}\theta}+\sin\theta\sqrt{1-\sin^{2}\theta}

が得られます。問題をとく際は

鋭角なら\cos,\sinは正である

に注意しましょう。鋭角もたいせつな情報です。

【結局、三角関係はどうなった?】

sin,cos,tanの関係を見ていったわけですが、結局のところ彼らの関係はどうなんだ?ということで考えていきます。といっても

  1. \displaystyle\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
  2. \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1

をみれば一目瞭然だと思います。あきらかに、tanはsinとcosに比べて異質です。1番目の式では左にいるし、2番目の式では仲間にもいれてもらえません。ということで、sinとcosは中がよくtanは一匹狼という関係がわかります。せめて一番目の公式を

 \tan\theta\cos\theta=\sin\theta

としてあげるのがやさしさだと思います。

  • 三角比にはtanθ=sinθ/cosθ、sin2θ+cos2θ=1という関係がある

著者:安井 真人(やすい まさと)