球の体積と表面積

 球の体積や表面積を計算する方法について解説します。基本的な図形なので、公式はしっかり暗記しておきましょう。また、これらの計算法がなぜ成立するのかについての証明も行います。

 球の体積と表面積

 さっそくですが以下に球の体積と表面積の公式をしめします。

半径Rの球の体積Vと表面積Sはそれぞれ

 \displaystyle V=\frac{4}{3}\pi R^{3},

 \displaystyle S=4\pi R^{2}

となる。

ここではなぜ球の体積と表面積がこのようになるのかを証明します。積分を使えば簡単に証明できますが、ここでは積分なしで証明をこころみます。

表面積の証明

 半径Rの球に内接する円柱の側面積と球の表面積が等しいことを証明します。そうすれば、

 S=2\pi R\times 2R=4\pi R^{2}

と導出できます。まず、球と円柱を高さ方向へ細かくスライスする状況をイメージしてください。

球の表面積

このスライスしたところの面積は

  • 円柱:2\pi R\Delta R
  • 球:2\pi R\sin\theta\Delta H

となります。ここで、

 \Delta H\sin\theta=\Delta R

なので球の面積は

 2\pi R\Delta R

となります。よって、球と円柱の面積が同じなので、球の表面積は

 4\pi R^{2}

となります。

球の体積の証明

 続いて、球の体積の公式の証明を行います。半径Rの球を図のように正四角錐に分けていきます。

球の体積

するとひとつの錐体の体積は

 \displaystyle\frac{1}{3}R\Delta S

となります。ここで\Delta Sは底面積です。あとは錐体をすべて足していけば

 \displaystyle V=\frac{1}{3}R\Delta S_{1}+\frac{1}{3}R\Delta S_{2}+\cdots+\frac{1}{3}R\Delta S_{N}\\=\frac{1}{3}R(\Delta S_{1}+\Delta S_{2}+\cdots+\Delta S_{N})\\=\frac{1}{3}RS

が得られます。球の表面積を代入すれば

 \displaystyle V=\frac{1}{3}R\times 4\pi R^{2}\\=\frac{4}{3}\pi R^{3}

となります。

著者:安井 真人(やすい まさと)