三角形の外心,垂心

三角形の外心と垂心

 三角形にはいくつかの種類の中心があります。それらが外心、垂心、内心、重心です。ここでは、これらの中心のうち外心と垂心の定義と性質について解説していきます。

三角形の外心

まず、外心から解説します。

外心

三角形ABCの外心とは、点A,B,Cから等距離にある点である。

\triangle ABCの外心を求めるには、辺AB,ACの垂直二等分線をかけばOKです。

外心

それらの直線の交点Oが外心になります。この交点Oより点A,B,Cを通る円をかけます。この円を外接円と呼びます。

三角形の垂心

続いて垂心の解説です。あまり使わないので、軽く定義を読んでもらえればOKです。

垂心

三角形の各頂点から向かい右辺へおろした垂線は一点で交わる。この点を垂心という。

垂線が一点で交わるのは当たり前でないので証明してみましょう。

まず、以下のように\triangle ABCがあり、それぞれ垂線をおろしています。

 tyoku

この垂線に直角で点A,B,Cを通る直線をかき、それぞれ交点をP,Q,Rとします。

ww

このとき以下の3つのことを証明します。

  1. PC=CQ
  2. PB=BQ
  3. RA=AQ

 といっても簡単で、四角形ABPC,ABCQ,BCARが平行四辺形であることから成り立ちます。これらの四角形が平行四辺形であることは

「直線AB,PAAC,RPBC,RQが平行であること」

から得られます。平行であることは錯角が90°になっていることからわかります。

以上のことから、直線AD,BE,CFは三角形PQRの垂直二等分線であり、交点は外心となり一点で交わります。ゆえに垂線は一点で交わります。

 

著者:安井 真人(やすい まさと)