チェバの定理

三角形とある点との関係にチェバの定理というものがあります。

ここではチェバの定理の紹介と使い方、そして証明を解説していきます。

チェバの定理とは

では、チェバの定理について紹介します。

チェバの定理

\triangle ABCと直線AB,BC,CA上にないある点Oがある。

直線AO,BO,COと対辺との交点をP,Q,Rとしたとき、

 \displaystyle\frac{BP}{PC}\frac{CQ}{QA}\frac{AR}{RB}=1

が成り立つ。これをチェバ(Ceva)の定理という。

チェバの定理

BP>>PC>>CQ>>QA>>AR>>RB

というように三角形の周りを回転しながら比をとると1になるというシンプルな定理です。

試しに使ってみると理解できるかと思います。

以下ように\triangle ABCと点Oがある。直線AO,BO,COと対辺との交点をP,Q,Rとし、AR=3,RB=1,BP=1,PC=2,CQ=2とする。このときQAの長さを求めよ。

問題

チェバの定理より

 \displaystyle\frac{3}{1}\frac{1}{2}\frac{2}{AQ}=1\\\Leftrightarrow AQ=3

となります。

では、チェバの定理を証明します。

以下のように、点B,Cから直線APに垂線をおろし交点をそれぞれS,Tとします。

チェバの証明

すると、3つの角が等しいので\triangle BPS,\triangle CPTは相似になります。

よって、

 \displaystyle\frac{BS}{CT}=\frac{BP}{PC}

が得られます。このことから面積において

 \displaystyle\frac{\triangle OAB}{\triangle OCA}=\frac{BP}{PC}・・・①

が成り立ちます。。同様にして

 \displaystyle\frac{\triangle OBC}{\triangle OAB}=\frac{CQ}{QA}・・・②

 \displaystyle\frac{\triangle OCA}{\triangle OBC}=\frac{AR}{RB}・・・③

が得られます。①から③をかければ

 \displaystyle\frac{\triangle OAB}{\triangle OCA}\frac{\triangle OBC}{\triangle OAB}\frac{\triangle OCA}{\triangle OBC}=\frac{BP}{PC}\frac{CQ}{QA}\frac{AR}{RB}\\\Leftrightarrow\frac{BP}{PC}\frac{CQ}{QA}\frac{AR}{RB}=1

となります。

チェバの定理の逆

チェバの定理の逆の定理が存在します。

このことについて説明します。

チェバの定理の逆

\triangle ABCがあり、直線AB,BC,CA上に点P,Q,Rがあり

 \displaystyle\frac{BP}{PC}\frac{CQ}{QA}\frac{AR}{RB}=1

が成り立つとする。このとき、直線AP,BQ,CRは1点で交わる。

直線BQ,CRとの交点をOとします。

このとき、QとRは両方とも辺上にあるか、ない場合を考えます。

(P,Q,Rの3点があるのでどれかの組はこれに該当するはず)

チェバ チェバ2

そして、直線AOBCの交点をP^{\prime}とします。

するとチェバの定理より

 \displaystyle\frac{BP^{\prime}}{P^{\prime}C}\frac{CQ}{QA}\frac{AR}{RB}=1・・・①

が成り立ちます。

一方、前提条件より

 \displaystyle\frac{BP}{PC}\frac{CQ}{QA}\frac{AR}{RB}=1・・・②

が得られます。条件①と②より

 \displaystyle\frac{BP^{\prime}}{P^{\prime}C}=\frac{BP}{PC}

となり内分する比が同じとなるので、P,P^{\prime}は同じ点となります。

よって、3直線AP,BQ,CRは1点で交わります。

著者:安井 真人(やすい まさと)