円の中心角,弧,弦

円の中心角,弧,弦

重要な図形の一つに円があります。

ここでは円の基本的な用語である中心角、弧、弦などの定義を解説します。

そして、これらの性質についての解説も行います。

円とは

はじめに円の定義から始めます。

円とは、ある点との距離が等しくなる点の集合である。

このある点のことを円の中心と呼ぶ。

集合で書くと中心が原点で半径Rの円は以下のようになります。

 \{(x,y)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}|x^{2}+y^{2}=R^{2}\}

円の中心角と弧と弦

円の用語として弧と弦があります。定義は以下のようになります。

中心角,弧,弦

ある円があり、円上の2点A,Bがあるとする。このとき、\angle AOB中心角という。

また、円上を通って最短な円の断片を弧(こ)といい、弧ABと表す。

また、線分ABのことを弦(げん)という。

弧,弦,中心角

中心角と弧と弦には以下の定理が成り立ちます。

中心角,弧,弦

  1. 等しい中心角に対する弧と弦の長さは等しい
  2. 等しい長さの弧に対する中心角と弦は等しい
  3. 等しい長さの弦に対する中心角と弧は等しい

以下の様な円と点A,B,C,Dを考えます。

 en

(1)

中心角と半径が同じなので、扇形OAB,OCDは合同になります。

よって、中心角が同じの同一円上の弧と弦の長さは等しくなります。

(2)

弧と半径が同じなので、扇形は合同になります。

よって、中心角が同じの同一円上の中心角と弦の長さは等しくなります。

(3)

弦と半径が同じなので、三角形OAB,OCDは合同になります。

よって、\angle AOB=\angle CODが得られます。

中心角が等しいので、(1)より弧も等しくなります。

円の弦の性質

さらに円と弦には以下の性質があります。

弦の性質

  1. 円Oから弦ABに引いた垂線は、弦ABを2等分する
  2. 円Oから弦ABの垂直二等分線は円の中心を通る

 (1)

円Oから弦ABに垂線を引いたとします。そして、交点をMとします。

証明

すると、

 OA=OB

であり、OMが共通であるので三平方の定理より

 AM^{2}=OA^{2}+OM^{2}=OB^{2}+OM^{2}=BM^{2}

となります。よって、AM=BMがなり立ちます。これは弦ABを二等分することを意味します。

(2)

弦ABの中点をMとします。そして、点OとMを結びます。

すると、

  1. AM=BM
  2. OA=OB

であり、OMは共通なので、\triangle OAM,OBMは合同になります。

よって、

 \angle OMA=\angle OMB・・・①

が得られます。

さらに、A,B,Mは直線上にあるので

 \angle OMA+\angle OMB=180^{\circ}・・・②

となります。①と②より

 \angle OMA=\angle OMB=90^{\circ}

が得られます。これは直線OMは弦ABの垂直二等分線であることを意味します。

著者:安井 真人(やすい まさと)