円に内接する四角形

これまで円に内接する三角形を考えてきました。

ここでは、円に内接する四角形の性質を考えていきます。

 円に内接する四角形

円に内接する四角形には以下の様な定理が成り立ちます。

内接する四角形の性質

四角形が円に内接するとき

  1. 四角形の対角の和は180°である
  2. 四角形の外角は、その隣の内角と対角に等しい

(1)

四角形ABCDが円に内接しているとします。

a

そして、

 \angle BAD=a,\angle BCD=b

とします。すると円周角の定理より

 2a+2b=360^{\circ}

となります。よって

 a+b=180^{\circ}

が得られます。

(2)

(1)の続きで、

 \angle DCE=180^{\circ}-b\\=180^{\circ}-(180^{\circ}-a)\\=a\\=\angle BAD

が得られます。

四角形が円に内接するための条件

円に内接する四角形の性質をみてきましたが、逆に四角形がどのような条件を満たせば円に内接するかを考えます。

内接の条件

次のどちらかが成り立てば四角形は円に内接する。

  1. 1組の対角の和が180°である
  2. 1つの外郭が、それと隣の内角の対角に等しい

(1)

四角形ABCDがあって

 \angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}

とします。そして、\triangle ABCの外接円Oをとります。

そして、周上にD^{\prime}をとります。

四角形ABCDが円周上にあるので、

 \angle ABC+\angle AD^{\prime}C=180^{\circ}

となります。①と②より

 \angle ADC=\angle AD^{\prime}C

が成り立ちます。円周角の逆の定理より、点A,C,D,D^{\prime}は同じ円周上にあることになります。

\triangle ACD^{\prime}の外接円はOなので、Dも円Oの円周上にあることになります。

よって、四角形ABCDに円Oに内接します。

(2)

四角形ABCDで、\angle DCE=\angle BADのとき

 \angle BAD=180^{\circ}-\angle DCB\\\Leftrightarrow \angle BAD+\angle DCB=180^{\circ}

になります。よって(1)から四角形ABCDは円に内接します。

著者:安井 真人(やすい まさと)