方べきの定理

 円と直線の関係性に方べきの定理があります。

ここでは、方べきについての解説と、方べきの定理の証明を行います。

方べきとは

点Pを通る直線と円Oがあります。

そして、円Oと直線の交点をA,Bとします。

このとき、積PA\times PB方べきといいます。

方べき

方べきの定理

点Pと円Oの方べきは常に一定の値をとります。

これが方べきの定理です。つまり以下のようになります。

方べきの定理

円の2つの弦AB,CDの交点をPとする。このとき

 PA\cdot PB=PC\cdot PD

が成り立つ。

【点Pが円Oの内部にある場合】

nai

このとき、\triangle PAC,\triangle PDBは相似になります。

なぜなら、同位角は等しいので

 \angle PAC=\angle PDB,\angle PCA=\angle PBD

となり、2つの角が等しいからです。よって、

 \displaystyle\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB}\\\Leftrightarrow PA\cdot PB=PC\cdot PD

が得られます。

【点Pが円Oの外部にある場合】

aa

内接する四角形の性質」より

 \angle ACP=\angle DBP

となります。また、\angle APC,\angle DPBは共通なので\triangle PAC,\triangle PDBは相似になります。

よって、

 \displaystyle\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}\\\Leftrightarrow PA\cdot PB=PC\cdot PD

が得られます。

 以下の図のように、直線を上に移動して点C,Dを重ねた場合でも方べきの定理はなりたちます。

cd

つまり

方べきの定理2

円の外部の点Pから円に引いた直線との交点をA,Bとし、接線と円との交点をCとする。このとき

 PA\cdot PB=PC^{2}

が成り立つ。

となります。

ff

接弦定理」より

 \angle PCA=\angle PBC

が成り立ちます。また、\angle CPA,\angle BPCは共通なので、\triangle PAC,\triangle PTBは相似になります。よって

 \displaystyle\frac{PB}{PC}=\frac{PC}{PA}\\\Leftrightarrow PA\cdot PB=PC^{2}

が得られます。

著者:安井 真人(やすい まさと)