三角形の内心,重心

 前回、三角形の外心と垂心について解説しました。ここでは、内心と重心について解説します。重心はよく使うのでしっかり学習しましょう。

三角形の内心

三角形の3つの内角の二等分線は1点で交わる。そして、その点は3つの辺から等距離にある。この点を内心と呼ぶ。

では、上記のことを証明します。

とりあえず、二等分線を点BとCからかいて、交点をOとします。そして、点Oから3辺へ垂線をおろし、交点を以下の図のようにP,Q,Rとします。

内心

1辺とその両端の角が等しいので

  1. \triangle BOR\equiv\triangle BOP
  2. \triangle COP\equiv\triangle COQ

となります。よって、

 OP=OQ=OR

が得られます。さらに、点Oと点Aを結ぶと、\angle Aを2等分します。なぜなら、

 OA=OA,OR=RQ

であり

 \angle ORA=\angle OQA=90^{\circ}

なので三平方の定理より

 RA=QR

となり、三辺が等しいため\angle ORA\equiv\angle OQAとなるからです。

三角形の重心

では最後に三角形の重心を解説します。重心は物理学でもよく使うので、しっかり覚えておきましょう。

重心

三角形の3つの中線は1点で交わる。そしてその点は各注染を2:1に内分する。この点を重心という。

 ではこのことも証明しましょう。

以下のように辺AB,ACの中点をそれぞれR,Qとします。

重心

すると、\triangle ARQ,\triangle ABCが相似になり1:2になります(\angle Aが等しく、ARとAB,AQとACの比が同じだからです)。よって、RQ:CB=1:2となります。さらに、相似であることから、RQとBCが並行となり、

 \angle OCB=\angle ORQ,\angle OBC=\angle OQR

となり、\triangle ORQ,\triangle OCBも1:2の相似になります。よって、

 CO:OR=BO:OQ=2:1

が得られます。

 同じ議論を

qq

でやれば、BO^{\prime}:O^{\prime}Q=2:1となります。よって、点O,O^{\prime}は一致します。

中線定理

めったに使わない定理ですが、一応解説します。

中線定理

\triangle ABCの辺BCの中点をMとすると

 AB^{2}+AC^{2}=2(AM^{2}+BM^{2})

が成り立ち、中線定理もしくはパップス(Pappus)の定理という。

では証明していきます。

以下の様な図を考えます。

中線定理

すると、BM=MCより

 AB^{2}+AC^{2}\\=(BM+MH)^{2}+AH^{2}+(MC-MH)^{2}+AH^{2}\\=2(BM^{2}+MH^{2}+AH^{2})\\=2(AM^{2}+BM^{2})

が得られます。

著者:安井 真人(やすい まさと)