メネラウスの定理

メネラウスの定理

チェバの定理では、三角形と点との関係でした。

ここでは、三角形と直線の関係であるメネラウスの定理について解説します。

メネラウスの定理とは

ではメネラウスの定理について紹介します。

メネラウスの定理

\triangle ABCと三角形の頂点を通らない直線がある。そして、その直線と直線BC,CA,ABとの交点をそれぞれP,Q,Rとする。このとき

 \displaystyle\frac{BP}{PC}\frac{CQ}{QA}\frac{AR}{RB}=1

が得られる。これをメネラウス(Menelaus)の定理と呼ぶ。

メネラウスの定理

点Bからスタートして

BP>>PC>>CQ>>QA>>AR>>RB

と一周すれば1になるというきれいな定理です。チェバの定理と似ていますね。違いは

  1. チェバの定理:三角形と点
  2. メネラウスの定理:三角形と直線

ということがあります。

では、証明してみます。

 まず、以下のように、直線に対して、点A,B,Cから垂線をおろしL,M,Nとします。

sanka

すると、直線AL,BM,CNは平行になります。

あとは、直線AL,BM,CNへメネラウスで使用する比を転写していきます。

  1. \triangle PCN, PBRが相似より、\displaystyle\frac{BP}{PC}=\frac{BM}{CN}
  2. \triangle QCN,QALが相似より、\displaystyle\frac{CQ}{QA}=\frac{CN}{AL}
  3. \triangle ALR,BMRが相似より、\displaystyle\frac{AR}{RB}=\frac{AL}{BM}

あとは、それぞれをかけあわせれば

 \displaystyle\frac{BP}{PC}\frac{CQ}{QA}\frac{AR}{RB}=1

がえられます。

 メネラウスの定理の逆

チェバの定理同様にメネラウスの定理の逆もなり立ちます。

つまり、以下の定理が成り立ちます。

メネラウスの定理の逆

\triangle ABCの辺BC,CA,ABまたはその延長上にそれぞれ点P,Q,Rがあるとする。そして、この3点のうち1つもしくは3つが辺の延長線上にあるとする。このとき、

 \displaystyle\frac{BP}{PC}\frac{CQ}{QA}\frac{AR}{RB}=1

ならば、P,Q,Rは1つの直線上にある。

チェバの定理と同様に証明していきます。

まず、以下のように三角形ABCと点P,Q,Rを設定します。ここで

 \displaystyle\frac{BP}{PC}\frac{CQ}{QA}\frac{AR}{RB}=1・・・①

が成り立っています。さらに、直線RQとBCの交わる点をP^{\prime}とします。

bp

すると、メネラウスの定理より

 \displaystyle\frac{BP^{\prime}}{P^{\prime}C}\frac{CQ}{QA}\frac{AR}{RB}=1・・・②

が成り立ちます。①と②より

 \displaystyle\frac{BP}{PC}=\frac{BP^{\prime}}{P^{\prime}C}

が得られます。外分の比が同じなのでP,P^{\prime}が同一の点となります。

ゆえに、点P,Q,Rは同一直線上にあることになります。

著者:安井 真人(やすい まさと)