円周角の定理

円における性質である円周角について解説します。

そして、円周角と中心角の関係である円周角の定理について説明します。

そして、円周角の定理を証明します。

円周角とは

まず円周角の定義について解説します。

ある円上に3点A,B,Cがあったとき、\angle ACBを弧ABの円周角という。

円周角

円周角において以下の定理が成り立ちます。

円周角の定理

 円周角と中心角に対して以下の定理が成り立ちます。

円周角の定理

円周角の2倍が中心角となる。

1. 中心が\angle APBの外部にある場合

en

 \angle AOC=\angle APO+\angle OAP

また、\angle OPAは二等辺三角形なので

 \angle APO=\angle OAP

となります。よって

 \angle AOC=2\angle APO・・・①

が得られる。また、

 \angle BOC=\angle OPB+\angle OBP

で、\triangle OPBは二等辺三角形なので

 \angle OPB=\angle OBP

より

 \angle BOC=2\angle OPB・・・②

となります。①と②より

 \angle AOC-\angle BOC=2(\angle APO-\angle OPB)\\\Leftrightarrow \angle AOB=\angle APB

が得られ、円周角の二倍が中心角となっています。

2.中心が直線PA,PB上にある場合

同一

図から明らかですが、\triangle OAPが二等辺三角形なので

 \angle AOB=\angle OAP+\angle OPA\\=2\angle OPA

となります。

3.中心が\angle APBの内部にある場合

ee

図を見ればすぐにわかると思いますが、\triangle AOP,BOPが二等辺三角形なので

 \angle AOB=\angle AOC+\angle BOC\\=\angle OAP+\angle OPA+\angle OBP+\angle OPB\\=2(\angle APO+\angle BPO)\\=2\angle APB

が得られます。

4. まとめ

1から3より、円周角の2倍が中心角となります。

円周角と弧の定理

円周角と弧に関して以下の定理が成り立ちます。

円周角と弧

  1. 等しい円周角の弧の長さは等しい
  2. 等しい弧の円周角は等しい

(1)

eee

\angle APB=\angle CQDなら、円周角の定理により\angle AOB=\angle CODとなります。

そして、「等しい中心角に対する弧と弦の長さは等しい」という定理より弦ABと弦CDは等しくなります。

(2)

「円周角の弧の長さが等しいと中心角が等しい」ので、

 \angle AOB=\angle COD

が成り立ちます。また、円周角の定理より

 \displaystyle\angle APB=\frac{\angle AOB}{2}=\frac{\angle COD}{2}=\angle COD

となります。

円の内部・外部の点と角の大小

点の場所によって、中心角となす角の大小が変わります。

それが以下の定理です。

円内部の点と角

円上にA,B,Qがあるとする。このとき

  1. Pが円の周上にある場合、\angle APB=\angle AQB
  2. Pが円の内部にある場合、\angle APB>\angle AQB
  3. Pが円の外部にある場合、\angle APB<\angle AQB

となる。

1については円周角の定理から明らかです。

2については

kaku

より、

 \angle APB\\=\angle PBP^{\prime}+\angle AP^{\prime}B\\>\angle AP^{\prime}B=\angle AQB

となります。

3については、

 jj

より

 \angle APC=\angle AP^{\prime}C-\angle PAP^{\prime}

 \angle CPB=\angle CP^{\prime}B-\angle PBP^{\prime}

となります。よって

 \angle APB=\angle APC+\angle CPB\\=\angle AP^{\prime}B-(\angle PAP^{\prime}+\angle PBP^{\prime})\\<\angle AP^{\prime}B=\angle AQB

となります。

円周角の定理の逆

最後に円周角の定理の逆について解説します。

円周角の定理の逆

4点A,B,P,QにおいてPとQが直線ABにおいて同じ側にあり、\angle APB=\angle AQBが成り立つならば、4点A,B,P,Qは1つの円周上にある。

\angle QABの外接円を考え、点Pがこの円周上にないとします。

Pが円の内部にあるとすれば、さきほどの定理から、\angle APB>\angle AQBとなり矛盾します。

Pが円の外部にあるとすれば、さきほどの定理から、\angle APB<\angle AQBとなり矛盾します。

よって、点Pは\angle QABの外接円の周上にあることになり、4点A,B,P,Qは1つの円周上にあることになります。

著者:安井 真人(やすい まさと)