行列式

飛行機

 ベクトルにも大きさがあったように行列にも大きさを導入できます。それが行列式と呼ばれるものです。ここでは2行2列の行列と3行3列の行列の大きさを示す行列式を紹介します。

2行2列の行列式

まず、2行2列の行列式を次のように定義します。

 \displaystyle |A|=\left| \begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right|\\=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}

例を挙げると

 \displaystyle \left| \begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right|\\=1\times 4-2\times 3\\=4-6\\=-2

となります。行列式は必ずしも正とならないことに注意しておきます。

3行3列の行列式

次に3×3の行列の行列式を

 \displaystyle |A|=\left| \begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right|\\=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}

と定義します。次のようにたすきがけして覚えるといいと思います。

【プラス側】

行列式の計算1

 【マイナス側】

行列式の計算2

試しに以下の行列式を計算します。すると

 \displaystyle \left|\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right|\\=1\times5\times9+2\times6\times7+3\times4\times8-1\times6\times8-2\times4\times9-3\times5\times7\\=45+84+96-48-72-105\\=0

となります。

3行3列の行列式を2行2列の行列式に展開

 3行3列の行列式を2行2列の行列式にして計算する方法を紹介します。この方法には以下の公式を使用します。

 \displaystyle \left| \begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right|\\=a_{11}\left|\begin{array}{cc}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{cc}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{cc}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{array}\right|

まず、a_{11}で展開します。この際、1行目と1列目を取り除いた2行2列の行列式をかけます。次に、-a_{12}で展開し、1行目と2列目を取り除いた2行2列の行列式をかけます。最後に、a_{13}で展開して1行目と3列目を取り除いた2行2列の行列式でかけます。

 

 外積の計算でよく使うのでこの展開方法をしっかりおさえておきましょう。