和の法則と積の法則

和の法則と積の法則

場合の数を数える際に「和の法則」と「積の法則」を知っているとスムーズに数えることができます。

ここでは、これらの法則について解説します。

和の法則

まず、和の法則について解説します。

和の法則

2つの事象A、Bが同時に起こらなくてそれぞれa,b通りなら

 a+b

がAまたはBが起こる場合の数になる。これを和の法則という。

例えば、サイコロを振って、1か2が出る場合の数は2になります。

この場合、

  1. A:1が出る場合の数(1)
  2. B:2が出る場合の数(2)

なのでAかBが起こる場合の数は1+1=2通りになります。

積の法則

次に積の法則について解説します。

積の法則

ある事象Aがm通りあり、それぞれの事象に対して事象Bがn通り起こるならA,Bが共に起こる場合の数はmn通りになる。これを積の法則という。

例えば、サイコロを2回ふったときの場合の数は

  1. A:一回目にサイコロを振って出る目(6通り)
  2. B:二回目にサイコロを振って出る目(6通り)

と場合は、

 6\times 6=36通り

となります。

サイコロを3回投げて積が偶数になる場合の数を求めよ

この場合は、まともに数えると結構な数になります。

一方、

  1. 3回投げて積が奇数になる場合の数:3\times 3\times 3=27通り
  2. 3回投げた場合の数:6\times 6\times 6=216通り

は簡単に積の法則で計算できます。また、和の法則より

(3回投げて積が奇数になる場合の数)+(3回投げて積が偶数になる場合の数)

=(3回投げた場合の数)

となります。よって、

(3回投げて積が偶数になる場合の数)=216-27=189通り

になります。

  • 和の法則は事象が同時に起こらないときに役立つ
  • 積の法則とは事象が連続して起こるときに役立つ
  • 「全体」から「それ以外をひく」と早く計算できる場合がある

著者:安井 真人(やすい まさと)