順列

場合の数にはいくつかよくあるパターンがあります。

その一つが順列です。

順列とは、ある異なるものの中からいくつか選んで並べる操作のことです。

ここでは、この順列を行った場合の総数の計算方法と応用例を紹介します。

順列とは

はじめに順列とはどのようなものかを紹介します。

異なるn個の中からr個を取り出して一列に並べることを順列といい総数は

 \displaystyle _{n}P_{r}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}

となる。特に

  _{n}P_{n}=n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1

と記述する。ただし、0!=1,_{n}P_{0}=1とする。

例えば、3個のアルファベットa,b,cから2つ取り出し並べるという順列を考えましょう。

すべて樹形図で書きだすと

樹形図

の6通りになります。この樹形図からわかると思いますが、

  1. a,b,cから3つ選ぶので3通り
  2. 3個から1つ抜いた2個から選ぶので2通り

と積の法則より

 3\times 2=6通り

になります。

 

上記のように一個づつ抜いて並べるので、

n個からr個を順に並べた際の場合の数は

 n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)=_{n}P_{r}

となります。」

今回の場合は

  _{3}P_{2}=3\times 2=6

となります。

a,b,c,dの4つを並べた際、何通りの並べ方があるか。また、15番目の文字列はなにか。

まず、この場合4つ選んで4つ並べるので

  _{4}P_{4}=4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24通り

となります。次に15番目の文字列は

  1. a◯◯◯:3!=3\cdot 2\cdot 1=6通り
  2. b◯◯◯:3!=3\cdot 2\cdot 1=6通り
  3. c◯◯◯:3!=3\cdot 2\cdot 1=6通り
  4. d◯◯◯:3!=3\cdot 2\cdot 1=6通り

となります。よって、

1番目:abcd

7番目:bacd

13番目:cabd

19番目:dabc

となります。よって、15番目はの頭文字はcだとわかります。あとは書き出して

13番目:cabd

14番目:cadb

15番目:cbad

なので、cbadが答えです。

  • 異なるものからいくつか並べることを順列という。
  • nこからrこ選んで並べる順列はnPr通り

著者:安井 真人(やすい まさと)