円順列とじゅず順列

円順列とじゅず順列

ただ一列に並べるのではなく、円状に並べる方法に「円順列」や「じゅず順列」という並べ方があります。

ここではこれら円順列やじゅず順列について解説します。

また、重複順列という重複を許して並べる方法についても解説します。

円順列

あまり使うことはありませんが、順列の一つである円順列というものを解説します。

円順列

異なるもの円状に並べる配列方法を円順列という。

ただし、円順列では、円を回転して一致するものは同じ配列として考える。

例えば、1,2,3,4を円状に並べる場合

円順列

となります。この際、

注意

のように回転したら同じになる配列は同じものとします。

円順列の数え方は簡単で、

円順列は、あるものを固定して、他を順列で並べる

という方式で数えます。さきほどの例もそのようにして、「1」を固定して並べています。

このことから、

円順列の総数

n個の異なるものの円順列の総数は(n-1)!となる。

ことがわかります。

じゅず順列

回転だけでなくひっくり返しても配列が同じなら同一とかんがえるのがじゅず順列です。

つまり

じゅず順列

回転したりひっくり返しても一致しない円状の配列をじゅず順列という。

となります。名前の通り「じゅず」をイメージしていただければ結構です。

先程の例のように1,2,3,4のじゅず順列は

 数珠順列

と3通りになります。

じゅず順列では対象のものが対であるので、円順列の半分です。

よって、

じゅず順列の総数

異なるn個のもののじゅず順列の総数は\displaystyle\frac{(n-1)!}{2}となる。

が成り立ちます。

重複順列

最後に重複順列です。

順列では異なるものを戻さない並べていましたが、重複順列は戻して並べる場合を考えます。

重複順列

異なるものから重複を許して、いくつか並べる順列を重複順列という。

例えば、1,2,3から2つ並べる場合は樹形図で

重複順列

となり9通りになります。積の法則より

 3\times 3=9

と計算できます。

よって、

重複順列

n個から重複を許してr個並べる配列の総数(重複順列の総数)はn^{r}となる。

が得られます。

 

以上たくさん公式がありますが、積の法則より導けるので、自分で導出できるようにしておきましょう。

  • 円順列は、回転を許して円状に並べること
  • じゅず順列は、回転と反転を許して円状に並べること
  • 重複順列は、選んだものを戻して並べること
  • 公式は自分で導く

著者:安井 真人(やすい まさと)