組み合わせ

組み合わせ

選んで並べるのではなく、単に選ぶだけという操作はよくあります。

ここでは、この組み合わせの総数についての計算方法を解説します。

また、同じものを含む順列や重複組合せについても解説します。

組み合わせ

まず、組み合わせについて解説します。

組み合わせ

異なるものの中から、いくつか選ぶ操作を組み合わせという。

例えば、1,2,3,4の中から2つ選ぶ場合の数を考えます。

単に、順に並べる場合なら

  _{4}P_{2}=4\cdot 3=12通り

となります。しかし、この組み合わせの場合、

 (1,2),(2,1)

は同じ組み合わせとして考えます。この重複は2つを並べた場合の順列なので

 2!=2通り

存在します。ですから、1,2,3,4から2つ選ぶ場合の数は

 \displaystyle\frac{_{4}P_{2}}{2\cdot 1}=6通り

となります。

以上のことを一般化すると

組み合わせ

異なるn個のものからr個選ぶ組み合わせの総数は

 \displaystyle _{n}C_{r}=\frac{ _{n}P_{r}}{r!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}

となる

が得られます。

この公式はよく使うので必ず使えるようになっておきましょう。

同じものを含む順列

これまで、異なるものの順列を学んできました。

ここでは同じものを含む順列についての場合の数を計算してみましょう。

りんごが3個、みかんが2個、メロンが1個あったとき、これらを並べる場合の数はいくらか。

まず、

◯◯◯◯◯◯

のように座席があると考えます。そしてこれらの中から、りんごを置く場所を決めます。すると

  _{6}C_{3}通り

になります。次に、残った3つの中から、みかんの場所を決めると

  _{3}C_{2}通り

になります。そして、最後に残った場所がメロンになります。

  _{1}C_{1}通り

よって、積の法則から

 \displaystyle _{6}C_{3}\times _{3}C_{2}\times _{1}C_{1}\\=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}\frac{3\cdot 2}{2\cdot 1}\times 1\\=60

通りとなります。

重複組み合わせ

 以上の組み合わせは、重複を許さないで異なるものからいくつか選んでいました。

一方、りんご、みかん、メロンから好きなモノを4個選ぶというように、重複を許す組み合わせがあります。

この組み合わせを重複組合せといいます。

重複組合せ

重複組合せとは異なるものから、いくつか選ぶ操作のことである。

先程述べた、りんご、みかん、メロンから好きなものを4個選ぶ場合、

◯◯◯◯と||

を用意します。そして、これらを

◯◯|◯|◯

のように並べます。

りんご|みかん|メロン

とかんがえるとこの場合は、りんご2こ、みかん1こ、メロン1ことなります。

よって、6つから2つ選ぶ場合の数となり

 \displaystyle _{6}C_{2}=\frac{6\cdots 5}{2\cdot 1}=15

通りが答えになります。

 

組み合わせと重複組合せは統計力学などでもよく使うので、必ずマスターしてください。

  • いくつかある中からいくつか選ぶ操作を組み合わせという
  • n個からr個選ぶ組み合わせはnCr通り
  • 重複組合せは仕切りをいれて考える

著者:安井 真人(やすい まさと)