二項定理

a+bの2乗、3乗、…を展開するとある法則が見えてきます。

ここでは、この展開の法則について解説します。

 二項定理

(a+b)^{n}を展開していくと

 (a+b)^{1}=a+b

 (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}

 (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{2}

となっていきます。では一般的にどうなるかというと以下のようになります。

二項定理

 (a+b)^{n}\\=_{n}C_{0}a^{n}+_{n}C_{1}a^{n-1}b+_{n}C_{2}a^{n-2}b^{2}\\+\cdots+_{n}C_{r}a^{n-r}b^{r}+\cdots+_{n}C_{n}b^{n}

(a+b)^{}の項a^{n-r}b^{r}

 (a+b)(a+b)\cdots(a+b)

n個からbr個選べばいいので

  _{n}C_{r}

となります。よって、a^{n-r}b^{r}の係数は _{n}C_{r}となります。

 パスカルの三角形

二項定理は覚えにくという方はパスカルの三角形という方法で覚えましょう。

パスカルの三角形とは以下の様な図です。

パスカルの三角形

1番目の列:a+b

2番目の列:(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}

3番目の列:(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}

4番目の列:(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}

の係数を表しています。もちろん5番目以降も使えます。

(a+b)^{n}を展開したい場合はパスカルの三角形を使いましょう。

  • 二項定理で(a+b)nの係数をあらわせることができる
  • パスカルの三角形を知っていると楽に展開できる

著者:安井 真人(やすい まさと)