確率の性質

 確率にはいくつか性質があります。

これらの性質を理解することで、確率の計算に役立てることができます。

ここでは、確率の性質について解説します。

基本性質

 まず、確率の基本的な性質を紹介します。

確率の性質

全事象Uで、任意の事象Aの確率P(A)において

  1. 0\leq P(A)\leq 1
  2. P(U)=1,P(\phi)=0

が成り立つ。ここで、\phiは空集合である。

 かなり当たり前のことを述べています。

全事象の場合の数よりもある事象Aの場合の数が大きくならないので、

 \displaystyle n(A)\leq n(U)\Leftrightarrow P(A)=\frac{n(A)}{n(U)}\leq 1

となります。また、場合の数は0以上の整数なので

 \displaystyle 0\leq n(A)\Leftrightarrow 0\leq \frac{n(A)}{n(U)}=P(A)

となり、項目1が成り立ちます。

項目2については、

 \displaystyle P(U)=\frac{n(U)}{n(U)}=1,\\P(\phi)=\frac{n(\phi)}{n(U)}=\frac{0}{n(U)}=0

から成り立つのがわかります。

加法定理

 2つの事象に対して、和の法則を用いることで以下の法則が導かれます。

加法定理

事象A,Bが同時に起こらない場合(A\cap B=\phi)、

 P(A\cup B)=P(A)+P(B)

が成り立ち、加法定理と呼ぶ。

この定理は和の法則より

 \displaystyle P(A\cup B)\\=\frac{n(A\cup B)}{n(U)}\\=\frac{n(A)+n(B)}{n(U)}\\=\frac{n(A)}{n(U)}+\frac{n(B)}{n(U)}\\=P(A)+P(B)

と導かれます。

もし同時に起こりうる場合は以下のようになります。

加法定理の拡張

 P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

このことは

 n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)

より

 \displaystyle P(A\cup B)=\frac{n(A\cup B)}{n(U)}\\=\frac{n(A)+n(B)-n(A\cap B)}{n(U)}\\=\frac{n(A)}{n(U)}+\frac{n(B)}{n(U)}-\frac{n(A\cap B)}{n(U)}\\=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

と導かれます。重なりのダブルカウントをひくことでキャンセルしています。

以下のベン図を見れば理解できるかと思います。

ベン図

余事象

最後に余事象について解説します。

余事象

事象Aに対して、Aが起こらない事象を余事象といい、\bar{A}とかき

 P(\bar{A})=1-P(A)

となる。

これはベン図を見ればすぐわかると思います。

 

まず、

 n(U)=n(A)+n(\bar{A})

なので、

 \displaystyle 1=\frac{n(A)}{n(U)}+\frac{n(\bar{A}}{n(U)}\\\Leftrightarrow 1=P(A)+P(\bar{A})\\\Leftrightarrow P(\bar{A})=1-P(A)

となります。

「◯◯◯が起こるか、起こらないかのどちらかだ」

というのは必ず当たるので、口癖にしましょう。

周りから信頼されるようになることでしょう。

  • 確率は0から1の値をとる(120%の確率はない)
  • 同時に起こらない事象の確率は足せばいい
  • 余事象は信頼を得るのに使える

著者:安井 真人(やすい まさと)