等差数列の和

等差数列の和

「1から100までの和を求めよ」という問題があったらあなたはどのように解くでしょうか?有名な数学者ガウスは小学生のころにこの問題はすぐに解いたそうです。周りの子供達は、必死に1から100まで足していましたが、当然計算ミスをしました。しかし、ガウスは短時間に解いただけではなく計算結果もあっていたのです。ガウスはどのようにして計算したのでしょうか?というのがこの記事の主題です。

1から100までの和を素早く計算するには

 S=1+2+3+\cdots+97+98+99+100

を計算するわけですが、これを次のように

 S=1+ 2+ 3+\cdots+97+98+99+100,

 S=100+99+97+\cdots+3+2+1

とかくとひらめく方もいるのではないでしょうか?この2つを足すと

 2S=101+101+101+\cdots+101+101+101

となります。右辺は101を100個足しているので

 2S=101\times 100=10100

となるので

 S=5050

となります。

等差数列の和

初項a_{1}、公差dの等差数列の一般項は

 a_{n}=a_{1}+(n-1)d

となります。この数列の1からnまでの和を計算しましょう。計算方法は先程と同様で

 S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}

 S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+\cdots+a_{1}

と並べてたします。

 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n})

そして計算すると

 \displaystyle 2S_{n}=n(2a_{1}+(n-1)d)\\\Leftrightarrow S_{n}=\frac{1}{2}n(2a_{1}+(n-1)d)

が得られます。公式を覚えるのは大変なので、以下のことが重要となります。

1から100までの和を計算できる方法を身に着けておく。

そして、等差数列の和を計算することがあったら1から100までの和を計算する方法を適応するこうすることで、公式を覚えなくても計算できるようになります。

著者:安井 真人(やすい まさと)