総和の記号Σ(シグマ)

総和の記号Σ

 これまで等差数列の和、等比数列の和、累乗の和など様々な数列の和について解説してきました。これまでの説明では、和を「…」といった点で記述していました。しかし、この方法では、数列の規則性を読者が発見する必要があり不便です。この不便さを解消する記号が総和の記号シグマです。ここでは、このシグマの記述方法と性質について解説します。

シグマによる総和の表記

数列の和を式で書くと

 a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}

とします。このように書くのは面倒です。そこで、総和の記号を以下のように導入します。

Σ(シグマ)

 a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}

のような数列を

 \displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}

とかく。そして、Σはシグマと呼ぶ。

つまり、\displaystyle\sum_{i=1}^{n}はiを1からnまでの総和を取るということになります。

シグマの性質

総和の記号シグマには以下の様な性質があります。

シグマ

 1. \displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})=\sum_{k=1}^{n}a_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}

 2. \displaystyle\sum_{k=1}^{n}pa_{k}=p\sum_{k=1}^{n}a_{k}

実際に、

 \displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})\\=(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})+\cdots+(a_{n}+b_{n})\\=(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})+(b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n})\\=\sum_{k=1}^{n}a_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}

 \displaystyle\sum_{k=1}^{n}pa_{k}\\=pa_{1}+pa_{2}+\cdots+pa_{n}\\=p(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})=p\sum_{k=1}^{n}a_{k}

となることからわかります。この性質を線形性といいます。

 \displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k+1)

を計算せよ。

 \displaystyle\sum_{k=1}^{n}(2k+1)\\=2\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1\\=2\frac{1}{2}n(n+1)+n\\=n(n+1)+n\\=n(n+2)

線形性を利用することで簡単に計算できます。

 

著者:安井 真人(やすい まさと)