漸化式と数列

漸化式と数列

 数列を表記するには、一般項を記述すればいいことを説明しました。例えば、a_{n}=n+1なら、2,3,4,5,6,\cdotsとなります。ここでは、以前の項により現在の項を記述する表記法である漸化式について解説します。

漸化式

一般項以外にも、数列を表記する方法があります。例として

 a_{n+1}=a_{n}+1,\\a_{1}=2

をあげます。この条件より、

 a_{2}=a_{1}+1=2+1=3,\\a_{3}=a_{2}+1=4,\\a_{4}=a_{3}+1=5,\\\cdots

と項を計算できます。このように、以前の項より現在の項を規定する方法が漸化式です。つまり、以下の様な定義になります。

漸化式

次の項をただひと通りに定める規則を示す数式を漸化式(ぜんかしき)という。

では、様々な数列を漸化式で表示して慣れていきましょう。

様々な数列を漸化式で表す

 では基本的な数列である等差数列と等比数列を漸化式であらわしてみましょう。

等差数列

初項a、公差dの等差数列を漸化式で表してみましょう。

等差数列では、項の前後差が一定で公差に等しいので

 a_{n+1}-a_{n}=d\Leftrightarrow a_{n+1}=a_{n}=d

となります。よって、以下の公式が得られます。

等差数列の漸化式

 a_{n+1}=a_{n}+d,\\a_{1}=a

が等差数列の漸化式である。

等比数列

初項a、公比rの等比数列を漸化式で表してみます。

前後の項で比がrなので、

 a_{n+1}=ra_{n},\\a_{1}=a

となります。よって、以下の公式が得られます。

等比数列の漸化式

等比数列の漸化式は

 a_{n+1}=ra_{n},\\a_{1}=a

となる。

  数列が出てきたら、漸化式での表示を使ってみてください。表示が楽な場合がよくあったりします。

著者:安井 真人(やすい まさと)