集合

集合

自然数、整数、実数のように数のまとまりを考えることがよくあります。

この数のまとまりを記述できるようになると、問題を数式で簡単に表現できるようになります。

そこで、ここではものの集まりである集合という概念についておはなしします。

 集合とは

さっそくですが、集合の定義から始めます。

集合・要素・空集合

範囲がはっきりしたものの集まりを集合(しゅうごう)といい、集合を構成している一つ一つを要素(ようそ)という。aが集合Aの要素であることを記号で

 a\in A

と表記する。一方、aが集合Aに属していない場合は

 a\notin A

と表記する。また、要素のない集合を空集合(くうしゅうごう)といい\emptysetとかく。

1から5までの自然数の集合なら要素は

 1,2,3,4,5\in A

の5こで、10は含まれないため

 10\notin A

となる。

 別に上記のような数でなくても集合は使うことができます。

例えば、「ある会社のの社員」も立派な集合です。

集合は抽象的な概念であり、一般性が高いです。

ですから、様々なところで応用できます。

集合の表し方

集合の表し方として主に2つの方法があるので覚えておきましょう。

集合の表記

集合の表記は

  1. 要素をすべて方法:集合={要素1,要素2,…,要素n}
  2. 要素を満たす条件を示してかく方法:集合={要素の代表x|xの条件}

のようにする。

1から5までの自然数の集合をAとすれば

 A=\{1,2,3,4,5\}

もしくは、

 A=\{x|xは1から5までの自然数\}

と表記する。

基本的に表記方法によらなくても、読んでいる人が集合を理解できれば大丈夫です。

例えば、「集合Aを奇数の集合とする」も立派な表記法です。

自然数や実数などは集合です。

これらの集合はよく使うので以下のような記号で表記されます。

  • 自然数(Natural Number):\mathbb{N}
  • 整数(Zahlen,ドイツ語):\mathbb{Z}
  • 有理数(Quotient):\mathbb{Q}
  • 実数(Real number):\mathbb{R}
  • 複素数(Complex number):\mathbb{C}

とくに自然数\mathbb{N}、実数\mathbb{R}、複素数\mathbb{C}はよく出てくるので覚えておきましょう。

  1. 集合とは、範囲がはっきりしたものの集まりのこと
  2. 集合を構成するものが要素
  3. 要素がない集合を空集合という
  4. 集合は{要素1,要素2,…}や{x|xの条件}のように表記できる

 

著者:安井 真人(やすい まさと)