部分集合

部分集合

前回、集合と集合の記述方法についておはなししました。

今回はある集合のなかの集合である部分集合について解説します。

そして、集合が等しいことの定義についても解説します。

部分集合とは

学校の生徒という集合があるとします。

そして、この集合にはさらに、男子と女子という集合があります。

このように集合の中に、集合があるというケースは多くあります。

このような集合を部分集合といい以下のように定義します。

部分集合

集合A,Bがあり

 b\in B \Rightarrow b\in A

がすべてのBの要素に対して成り立つとき、BAの部分集合といい

 B\subset A

とかく。

いま集合が

 A=\{1,2,3,4,5\},B=\{1,2\}

の二つあるとします。集合Bの要素はすべてAの要素になっています。

よって、B\subset Aとなります。

部分集合

記号「\subset」をどちらの向きにかけばいいか覚えにくいかと思います。

そのような場合は「<」を思い浮かべてください。

「開いている方の集合が大きい」と連想するのです。

そうすれば、「\subset」をどちらの向きにすればいいかすぐにわかりますよ。

集合が等しいとは

では続いて2つの集合が等しいことの定義をします。

基本的には簡単で要素がすべて同じなら集合は等しいといえます。

ただ、その定義を部分集合により、以下のように定義します。

等しい集合

集合A,Bに対して

 B\subset A,A\subset B

が同時に成り立つ場合、集合A,B等しいといい

 A=B

と記す。成り立たない場合は、集合A,B等しくないといい

 A\neq B

と表す。

上記の定義の仕方は、数でいう以下の定理

A\leq B,A\geq B\Rightarrow A=B

と同じ考え方です。

以下の集合が等しくないことを証明せよ

 A=\{1,2,3,4,5\},B=\{1,2,3\}

この場合、

 B\subset A

は成り立ちます。なぜなら、すべてのBの要素に対し

 1\in A,\\2\in A,\\3 \in A

だからです。

 

一方、

 A\subset B

は成り立ちません。なぜなら、BAの要素4,5を含まないからです。

 

よって、

 A\neq B

となります。

集合A,Bに対して、

  1. 部分集合:「b\in B\Rightarrow b\in A\Leftrightarrow B\subset A
  2. 等しい:「B\subset A,A\subset B\Leftrightarrow A=B

となる。

著者:安井 真人(やすい まさと)