補集合

補集合

自然数や実数のように大きな集合Uを決めてから、Uの要素や部分集合を考えることがよくあります。

すると、部分集合以外の集合である補集合という概念がうまれます。

ここでは、補集合について解説し、補集合における公式をいくつか紹介します。

 

いま、全体集合Uの部分集合Aを考えます。

部分集合A以外のUの集合をA補集合(ほしゅうごう)といい

 \bar{A}=\{x|x\in U,x\notin A\}

と頭にバーを付けて書きます。

全体集合Uの補集合は空集合\emptysetとなり、空集合の補集合は全体集合になります。すなわち

 \bar{U}=\emptyset,\bar{\emptyset}=U

となります。

 

また、A\bar{A}の重なる要素はないので

 A\cap \bar{A}=\emptyset

となります。

 

また、\bar{A}A以外のUの集合なので、A\bar{A}の要素を足せばUとなるはずです。よって

 A\cup \bar{A}=U

が成り立ちます。

 

そして、\bar{\bar{A}}は補集合\bar{A}以外の集合なので集合Aと等しくなります。つまり

 \bar{\bar{A}}=A

が成り立ちます。

著者:安井 真人(やすい まさと)