ベクトルの足し算と引き算

ベクトルの足し算と引き算

ベクトルも数なので足し算と引き算が存在します。

ここでは、ベクトルの足し算の定義、ゼロベクトル、引き算について解説します。

足し算

ではベクトルの足し算を以下のように定義します。

ベクトルの和

図のように二つのベクトル

 \vec{a}=\overrightarrow{AB},\\ \vec{b}=\overrightarrow{CD}

があったとする。このとき、これらのベクトルの和\vec{a}+\vec{b}

のように\vec{a}の終点と\vec{b}の始点をつなげたベクトルとして定義する。

ただ、矢印をつなげていくだけなので簡単ですね。

 

引き算

実数における引き算は

 3-2=3+(-2)

のように負の数を足すと考えれば足し算と同じでした。

そこでベクトルでも負の数を導入することで、引き算を定義します。

 ゼロベクトル

まず、実数の負の数の性質として

 a+(-a)=0

という性質がありました。ここで、ゼロが出てきます。

そこで、ベクトルにおけるゼロを以下のように定義します。

ゼロベクトル

大きさが0のベクトルをゼロベクトルとする。つまり

 \vec{0}=\overrightarrow{AA}

とする。

負のベクトル

あとは実数の性質a+(-a)=0のように負のベクトルを定義します。

負のベクトル

負のベクトルを

 \overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AA}

となる-\overrightarrow{AB}として定義する。また、上記の式を

 \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AA}

と省略してかくことがある。

上記のような負のベクトルは何かと考えてみます。すると

 -\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}

であれば

 \overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}

が成り立つことがわかります。

よって、

負のベクトル

 -\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}

がなり立ちます。

つまり、負のベクトルとは方向を180°変えたベクトルであることがわかります。

  • ベクトルの足し算は始点と終点をつなげるだけ
  • ゼロベクトルは大きさがないベクトル
  • 負のベクトルとは向きが逆のベクトル

著者:安井 真人(やすい まさと)