直線の方程式

横断歩道

 線は幾何学の基本です。線を使うことで三角形などのあらゆる図形を書くことができます。ですから、幾何学から解析にもっていくために、線を式で表現することはとても重要です。そこで、直線を数式で表現する方法を学びます。

直線の定義

 線を式で記述するには、座標を設定します。そして、以下の様な直線があったとします。

直線

このとき、直線は

 \left\{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}|y=2x+1\right\}

と定義できます。これはy=2x+1という関係を満たす実数x,yの組み合わせの集合という意味です。この式に、図の中の直線の情報はすべて入っています。つまり、幾何学を解析学へ変換したことになります。あとは式を使って求めたい値を導けばOKです。一般に平面上の直線は以下のような集合で表現できます。

直線

 \left\{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}|ax+by+c=0\right\}

ここで、a,b,cは実数で、a\neq 0またはb\neq 0である。

そして、bが0でない場合、

 \displaystyle y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}

とかけ、\displaystyle -\frac{a}{b}傾きという。

直線ときたらとりあえず集合で書いてみると問題を整理できて便利です。

2点(1,2),(-2,5)を通る直線を求めよ。

まず、直線を求めるので

 \displaystyle\left\{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}|ax+by+c=0\right\}

と書いておきます。ここでa,b,cは実数です。次に2点(1,2),(-2,5)を通るとあるので

 a+2b+c=0\\-2a+5b+c=0

という条件も成り立ちます。この式をとくと

 b=a\\c=-3a

となります。よって、

 \displaystyle\left\{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}|ax+ay-3a=0\right\}

となります。a=0だと0=0となり平面になるのでa\neq 0となります。よって

 \displaystyle\left\{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}|x+y-3=0\right\}

が得られます。

点(1,3)を通り、直線2x+y-3=0に平行な方程式を求めよ。

直線とあるので

 \displaystyle\left\{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}|ax+by+c=0\right\}

と書いておきます。次に平行とあるので傾きが-1/2です。ですから、

 d(2x+y)+c=0

となります。最後に点(1,3)を通るので、

 5d+c=0

となり

 d(2x+y-5)=0

が得られます。d=0だと平面になるのでd\neq 0です。よって

 \left\{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}|2x+y-5=0\right\}

が求める直線の集合となります。

直線x+y-2=0,2x-y+1=0の交点を求めよ

2直線の交点を求めるので

 \left\{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}|x+y-2=0,2x-y+1=0\right\}

となります。まとめると、

 \displaystyle\left\{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}|x=\frac{1}{3},y=\frac{5}{3}\right\}

が得られます。よって、

 \displaystyle\left(\frac{1}{3},\frac{5}{3}\right)

が求める点となります。

著者:安井 真人(やすい まさと)