内積の性質

内積の性質

前回内積について

 (a,b)\cdot (c,d)=ac+bd

と定義しました。今回はこの内積の性質をいくらか紹介します。

 内積の性質

内積の性質1

 \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}

これは

 \vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}=b_{1}a_{1}+b_{2}a_{2}=\vec{b}\cdot\vec{a}

より成り立ちます。

内積の性質2

 (\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}

これも

 (\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=(a_{1}+b_{1})c_{1}+(a_{2}+b_{2})c_{2}=(a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2})+(b_{1}c_{1}+b_{2}c_{2})=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}

よりわかります。

同様にして

 \vec{c}\cdot(\vec{a}+\vec{b})=\vec{c}\cdot\vec{a}+\vec{c}\cdot\vec{b}

も成り立ちます。

内積の性質3

 (k\vec{a})\cdot\vec{b}=\vec{a}(k\vec{b})=k(\vec{a}\cdot\vec{b})

この関係は

 (k\vec{a})\cdot\vec{b}=(ka_{1})b_{1}+(ka_{2})b_{2}=k(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2})=k(\vec{a}\cdot\vec{b}),

 \vec{a}\cdot(k\vec{b})=a_{1}(kb_{1})+a_{2}(kb_{2})=k(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2})=k(\vec{a}\cdot\vec{b})

より成り立つことがわかります。

著者:安井 真人(やすい まさと)