直線のベクトル方程式

直線のベクトル方程式

ベクトルを使えば、直線を簡単に表現できます。

ここでは、ベクトルによる直線の記述方法を紹介します。

また、ベクトルによる直線の記述から、直線の方程式を導きます。

直進のベクトル方程式

直線をベクトルを使って表現することができます。

例えば、2点A(\vec{a}),B(\vec{b})を通る直線を考えます。

ab

Aを通って、ベクトル\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}の方向の直線なので以下のようになります。

 \vec{p}=\vec{a}+(\vec{b}-\vec{a})t\\=(1-t)\vec{a}+t\vec{b},\ t\in\mathbb{R}

具体的に成分で書くと

 \left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(1-t)a_{x}+tb_{x}\\(1-t)a_{y}+tb_{y}\end{array}\right)

となります。よって、

直線

A(\vec{a}),B(\vec{b})による直線は

 \vec{p}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b},\ t\in\mathbb{R}

となる。

が得られます。

直線の方程式

先ほどのベクトル方程式からtを消すと直線の方程式が得られます。

 x=(1-t)a_{x}+tb_{x}\\\Leftrightarrow x=a_{x}+t(b_{x}-a_{x})\\\Leftrightarrow (b_{y}-a_{y})x=a_{x}(b_{y}-a_{y})+t(b_{x}-a_{x})(b_{y}-a_{y})

 y=(1-t)a_{y}+tb_{y}\\\Leftrightarrow y=a_{y}+t(b_{y}-a_{y})\\\Leftrightarrow (b_{x}-a_{x})y=a_{y}(b_{x}-a_{x})+t(b_{y}-a_{y})(b_{x}-a_{x})

より、引き算すると

 (b_{y}-a_{y})x-(b_{x}-a_{x})y=a_{x}(b_{y}-a_{y})-a_{y}(b_{x}-a_{x})

となります。もし、b_{x}\neq a_{x}なら

 \displaystyle y=\frac{b_{y}-a_{y}}{b_{x}-a_{x}}x+a_{y}-a_{x}\frac{b_{y}-a_{y}}{b_{x}-a_{x}}

となります。よって、

直線の方程式

A(a_{x},a_{y}),B(b_{x},b_{y})を通る直線の方程式は

 \displaystyle y=\frac{b_{y}-a_{y}}{b_{x}-a_{x}}x+a_{y}-a_{x}\frac{b_{y}-a_{y}}{b_{x}-a_{x}}

となる。

が得られます。

三角形の内部

ベクトルを使うと三角形も表現できます。

ここでは実際に三角形の内部をベクトルで表現してみます。

では、三角形OABの内部をベクトルであらわします。

vec

図のようにOA,OB上の点はそれぞれ

 k\vec{a}

 k\vec{a}+k(\vec{b}-\vec{a})

です。ただし、0\leq k\leq 1です。よって、

 k\vec{a}+kl(\vec{b}-\vec{a})=k(1-l)\vec{a}+kl\vec{b}

0\leq l\leq 1となります。

 s=k(1-l),t=kl

とすれば、範囲は

aa

より

 s+t\leq 1,s\geq 0,t\geq 0

となります。よって以下のようになります。

三角形の内部

O,A(\vec{a}),B(\vec{b})の内部は

 \vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b},\ s+t\leq 1,s\geq 0,t\geq 0

となる。

著者:安井 真人(やすい まさと)