円のベクトル方程式

円のベクトル方程式

直線だけでなく円に関してもベクトルにより表記できます。

ここでは、このベクトルによる円の表記法と円の方程式について解説します。

円のベクトル方程式

円はある点から一定の距離にある点の集合です。

よって、中心を\vec{a}として、半径をrとすれば

 \left|\vec{p}-\vec{a}\right|=r

もしくは

 (\vec{p}-\vec{a})\cdot (\vec{p}-\vec{a})=r^{2}

となります。ここで

 \vec{p}=(x,y)

です。

円の方程式

では、先ほどのベクトル方程式から円の方程式を導きます。

すると

 (\vec{p}-\vec{a})(\vec{p}-\vec{a})=r^{2}\\\Leftrightarrow \left(\begin{array}{c}x-a_{x}\\y-a_{y}\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x-a_{x}\\y-a_{y}\end{array}\right)=r^{2}\\\Leftrightarrow (x-a_{x})^{2}+(y-a_{y})^{2}=r^{2}

が得られます。

著者:安井 真人(やすい まさと)