スカラー関数の線積分

線

 スカラー関数の線積分について解説します。まず、ためしに線積分で円の円周を求めてみます。

 線積分では経路を最初に設定します。

線積分

ここでは、(1,0)を開始点で時計回りに一周する経路をCと置くことにします。次にこの経路CN当分していきます。そして、i番目の線の長さを\Delta s_{i}と置きます。すると、経路の全長は

 \displaystyle L=\sum_{i=1}^{N}\Delta s_{i}

となります。ここで極限N\to\inftyとしたものを

 \displaystyle L=\int_{C}ds

とかきます。今回のように開始点と終了点が同じ場合は周回積分といい

 \displaystyle L=\oint_{C}ds

と書いたりします。ここで、

 ds=1\times d\theta=d\theta←(弧長)=(半径)×(角度)

なので、

 \displaystyle L=\oint_{C}ds=\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi

となります。

 では続いて、今x座標をxとし、微小距離\Delta s進むとx\Delta s円もらえるとします。このとき、経路Cを一周したらいくらもらえるか計算してみましょう。さきほどと同じように考えればもらえるお金は

 \displaystyle M=\oint_{C}xds

となります。ここで

 x=\cos\theta

なので、

 \displaystyle M=\oint_{C}xds=\int_{0}^{2\pi}\cos\theta d\theta=\left[ \sin\theta\right]_{0}^{2\pi}=0

となります。つまり、0円です。xが正の場合はお金をもらえるのですが、負のときは払わないといけないのでキャンセルされてしまうからです。

 以上の例のようにスカラー関数f(\vec{r})に対して経路Cで積分することを線積分といい

 \displaystyle \int_{C}f(\vec{r})ds

とかきます。もし、開始点と終了点が同じ場合は一周することを強調して

 \displaystyle \oint_{C}f(\vec{r})ds

とかくことがあります。

著者:安井 真人(やすい まさと)