ベクトル関数の面積分

サイコロ

z=1の位置に正方形があります。z軸から光が注いできた際の正方形がつくる影の面積を計算します。

面積分

もちろん、影の面積は

 1×1=1

となることは図からわかると思います。これをベクトル関数の面積分で計算します。

 まず、正方形の面をSと名付けます。そして面Sを微小領域に分割していきます。ここで、面積ベクトルというベクトルd\vec{S}を導入します。このベクトルは向きが微小領域の面に垂直な方向で、大きさが微小領域の面積となります。微小領域に垂直な方向は二つありますが、今回はz軸を正にとることにします。こうすると、影の面積は

 \displaystyle S=\int_{S}\vec{k}\cdot d\vec{S},\vec{k}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)

と表せます。次に面積ベクトルをもとめると

 d\vec{S}=\vec{k}dxdy

となります。よって

 \displaystyle S=\int_{S}\vec{k}\cdot d\vec{S}=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\vec{k}\cdot\vec{k}dxdy=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}dxdy=1

となります。

 続いて、半球に光がz方向から照らされた際にできる影について計算します。当然,

 \pi r^{2}

となることはわかるかと思います。これを面積分で計算します。

面積分

まず、面積ベクトルを図のように原点から外側を正としてとります。すると

 dS=r^{2}\sin\theta d\theta d\phi

なので

 d\vec{S}=r^{2}\sin\theta d\theta d\phi \frac{\vec{r}}{r}

となります。ここで

 \vec{r}=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)

です。よって、

 \vec{k}\cdot d\vec{S}=zr\sin\theta d\theta d\phi

で、

 z=r\cos\theta

なので

 \vec{k}\cdot d\vec{S}=r^{2}\sin\theta \cos\theta d\theta d\phi

が得られます。これを積分すれば

 \displaystyle\int_{S}\vec{k}\cdot d\vec{S}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}r^{2}\sin\theta \cos\theta d\theta d\phi,

 \displaystyle=\pi r^{2}\int_{0}^{\pi/2}2\sin\theta \cos\theta d\theta,

 \displaystyle=\pi r^{2}\int_{0}^{\pi/2}\sin 2\theta d\theta,

 \displaystyle=\pi r^{2}\left[-\frac{1}{2}\cos 2\theta\right]_{0}^{\pi/2},

 =\pi r^{2}

が得られます。

 このようにベクトル関数\vec{f}(x,y,z)と領域Sに対して

 \displaystyle\int_{S}\vec{f}\cdot d\vec{S}

をベクトル関数の面積分といいます。

著者:安井 真人(やすい まさと)