体積積分

チョーク

一辺が1の立方体の体積を計算します。当然

 1×1×1=1

となります。この計算を体積積分で計算します。

立方体

まず、x,y,z方向へN等分すると微小体積は

 \Delta V_{i}=\Delta x_{l}\Delta y_{m}\Delta z_{n}

となります。これについて和を取れば

 \displaystyle V=\sum_{i=1}^{N^{3}}\Delta V_{i}=\sum_{l=1}^{N}\sum_{m=1}^{N}\sum_{n=1}^{N}\Delta x_{l}\Delta y_{m}\Delta z_{n}

が得られ、極限N\to \inftyをとると

 \displaystyle V=\int_{V}dV=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}dxdydz=1

と計算できます。

微小体積

では、続いて球の体積を体積積分で計算します。微小体積は微小面積が

 r^{2}\sin\theta d\phi d\theta

となることから

 dV=r^{2}\sin\theta d\phi d\theta dr

となります。これを積分すれば

 \displaystyle V=\int_{V}dV=\int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}r^{2}\sin\theta d\phi d\theta dr

 \displaystyle=2\pi\int_{0}^{R}r^{2}\int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta dr

 \displaystyle=4\pi\int_{0}^{R}r^{2}dr

 \displaystyle=\frac{4}{3}\pi R^{3}

が得られます。

 以上のように、スカラー関数f(x,y,z)と領域Vに対して

 \displaystyle\int_{V}fdV

を体積積分といいます。

著者:安井 真人(やすい まさと)