場合の数

 場合の数の計算は、すべての場合の数を書き出せばわかります。ただ、場合の数が大きいとこの方法では骨がおれます。そこで、ここでは積の法則を学び、場合の数を計算できるようにする方法を紹介します。

積の法則

いま、以下のように2つの分岐点AとBがあります。

Bunki

  1. 分岐点Aでは、3種類の分岐
  2. 分岐点Bでは、2種類の分岐

があります。このとき、始点から終点へ行くまでの道のりは何種類あるでしょうか?難しそうですが、書き出してみると

123

となります。これから、

 3\times 2=6

で計算できることがわかります。

 以上のようにあるa通りの事象A、b通りの事象Bがあって、これらが同時に起こる場合

 ab

が起こりうるすべての事象となります。これを、積の法則といいます。

順列

 では、積の法則を使って問題をといてみます。まず、赤・青・黄色のボールがあったとします。これら3つのボールから2つ並べる場合の数を計算します。

Toi

計算するために

事象A:3つのボールからひとつ選ぶ

 Toi

事象B:残った2つのボールから一つ選ぶ

Ii

という事象に分解して考えます。これらの事象は同時に起こるので、積の法則を用いることができます。そして、事象Aは3通り、事象Bは2通りなので、

 3\times 2=6

より6通りになります。

 今回の問題のように異なるものからいくつか選んで、順に並べる操作を順列(じゅんれつ)といいます。

順列の場合はよくあるので、順列の場合の数を _{n}P_{r}とかき、nこの異なる要素から、rこ選んで並べる場合の数となります。これを計算すると、

  1. 1回目のチョイス:n
  2. 2回めのチョイス:n-1
  3. 3回目のチョイス:n-2
  4. ・・・
  5. r回目のチョイス:n-r+1

なので

  _{n}P_{r}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)

となります。ですから、先ほどの3つのボールから2つ選んで順に並べる場合の数は

  _{3}P_{2}=3\times 2=6

と計算できます。

組み合わせ

 では今度は、ただ選ぶだけの場合の数も考えます。いま、5つの数字「1,2,3,4,5」があります。これらの数字から3つ選択する場合の数を考えてみましょう。

 まず、5つの数字から、3つ選んで並べる場合の数は、

  _{5}P_{3}=5\times 4\times 3

となることを学びました。これらには、

 (1,2,3),(1,3,2),(2,1,3)

などの組み合わせが重複されているので、重複を取り除く必要があります。3つの数字の組(1,2,3)の場合の数は、3つの数字から3つ選んで並べた場合の数なので

 _{3}P_{3}=3!=3\times 2\times 1

となります。ここで、3!は3の階乗(かいじょう)と呼び

  _{n}P_{n}=n!=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1

を意味します。

 話が飛びましたが、重複は3!ということがわかったので、重複分を割って

 \displaystyle\frac{_{5}P_{3}}{3!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1}=10

となります。よって10通りです。

 以上の議論を一般化すると、n個の数字からrこ選ぶ場合の数_{n}C_{r}

 \displaystyle _{n}C_{r}=\frac{_{n}P_{r}}{r!}\\=\frac{n(n-1)\cdots (n-r+1)}{r!}\\=\frac{n(n-1)\cdots (n-r+1)(n-r)(n-r-1)\cdots 2\cdot 1}{(n-r)(n-r-1)\cdots 2\cdot 1\times r!}\\=\frac{n!}{r!(n-r)!}

となります。これが組み合わせの公式です。使えるようにしておきましょう。

著者:安井 真人(やすい まさと)